2006年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數學（供文科考生使用）
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
參考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
球的表面積公式，其中表示球的半徑
球的體積公式，其中表示球的半徑
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發生次的概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．函數的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．設集合，則滿足的集合的個數是（ ）
Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8
3．設是上的任意函數，下列敘述正確的是（ ）
Ａ．是奇函數 Ｂ．是奇函數
Ｃ．是偶函數 Ｄ．是偶函數
4．的值為（ ）
Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64
5．方程的兩個根可分別作為（ ）
Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率
Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率
6．給出下列四個命題：
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行
②垂直于同一平面的兩個平面互相平行
③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行
④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線
其中假命題的個數是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
7．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區域，表示該區域的不等式組是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．設是上的一個運算，是的非空子集，若對任意，有，則稱對運算封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（ ）
Ａ．自然數集 Ｂ．整數集 Ｃ．有理數集 Ｄ．無理數集
9．的三內角所對邊的長分別為．設向量，．若，則角的大小為（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．與方程的曲線關于直線對稱的曲線的方程為（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．曲線與曲線的（ ）
Ａ．離心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦點相同 Ｄ．準線相同
2006年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數 學（供文科考生使用）
第II卷（非選擇題，共90分）
13．方程的解為 ．
14．設則 ．
15．如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是________．
16．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現從中選出3名隊員排成1，2，3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1，2號中至少有1名新隊員的排法有________種．（以數作答）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數，求
（1）函數的最大值及取得最大值的自變量的集合；
（2）函數的單調增區間．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩班各派2名同學參加年級數學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響，求：
（1）甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；
（2）甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率．
19．（本小題滿分12分）
已知正方形，分別是邊的中點，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．
（1）證明平面；
（2）若為正三角形，試判斷點在平面內的射影是否在直線上，證明你的結論，并求角的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
已知等差數列的前項和為，．
（1）求的值；
（2）若與的等差中項為，滿足，求數列的前項和．
21．（本小題滿分12分）
已知函數，，其中，設為的極小值點，為的極值點，，并且，將點依次記為．
（1）求的值；
（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．
22．（本小題滿分14分）
已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設圓的方程為．
（1）證明線段是圓的直徑；
（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值．
2006年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數學（供文科考生使用）
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
參考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
球的表面積公式，其中表示球的半徑
球的體積公式，其中表示球的半徑
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發生次的概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．函數的最小正周期是（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：，選D
2．設集合，則滿足的集合的個數是（C ）
Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8
解：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集個數問題，所以滿足題目條件的集合B共有個。故選擇答案C。
3．設是上的任意函數，下列敘述正確的是（ C ）
Ａ．是奇函數 Ｂ．是奇函數
Ｃ．是偶函數 Ｄ．是偶函數
解：A中則，
即函數為偶函數，B中，此時與的關系不能確定，即函數的奇偶性不確定，
C中，，即函數為奇函數，D中，
，即函數為偶函數，故選擇答案C。
4．的值為（B ）
Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64
解：原式＝，選B
5．方程的兩個根可分別作為（ A ）
Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率
Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率
解：方程的兩個根分別為2，，故選A
6．給出下列四個命題：
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行
②垂直于同一平面的兩個平面互相平行
③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行
④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線
其中假命題的個數是（D ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
解：利用特殊圖形正方體我們不難發現①、②、③、④均不正確，故選擇答案D。
7．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區域，表示該區域的不等式組是（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區域時有。
故選A
8．設是上的一個運算，是的非空子集，若對任意，有，則稱對運算封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（C ）
Ａ．自然數集 Ｂ．整數集 Ｃ．有理數集 Ｄ．無理數集
解：A中1－2＝－1不是自然數，即自然數集不滿足條件；B中12＝0.5不是整數，即整數集不滿足條件；C中有理數集滿足條件；D中不是無理數，即無理數集不滿足條件，故選擇答案C。
9．的三內角所對邊的長分別為．設向量，．若，則角的大小為（ B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。
10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：依題意，結合圖形可得，故，選D
11．與方程的曲線關于直線對稱的曲線的方程為（ A ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：，，即：，所以，故選擇答案A。
12．曲線與曲線的（B ）
Ａ．離心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦點相同 Ｄ．準線相同
解：由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案B。
2006年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數 學（供文科考生使用）
第II卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13．方程的解為．
解：Û
14．設則．
解：.
15．如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是．
解：顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面邊長為2，又正六棱錐的高依題意可得為2，依此可求得
16．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現從中選出3名隊員排成1，2，3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1，2號中至少有1名新隊員的排法有48種．（以數作答）
解：兩老一新時, 有種排法;
兩新一老時, 有種排法,即共有48種排法.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數，求
（1）函數的最大值及取得最大值的自變量的集合；
（2）函數的單調增區間．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩班各派2名同學參加年級數學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響，求：
（1）甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；
（2）甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率．
19．（本小題滿分12分）
已知正方形，分別是邊的中點，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．
（1）證明平面；
（2）若為正三角形，試判斷點在平面內的射影是否在直線上，證明你的結論，并求角的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
已知等差數列的前項和為，．
（1）求的值；
（2）若與的等差中項為，滿足，求數列的前項和．
21．（本小題滿分12分）
已知函數，，其中，設為的極小值點，為的極值點，，并且，將點依次記為．
（1）求的值；
（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．
22．（本小題滿分14分）
已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設圓的方程為．
（1）證明線段是圓的直徑；
（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值．
2006年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數學(文史類)答案與評分參考
說明：
（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D
（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B
（13）（14）（15）（16）48
（17）本小題考查三角公式、三角函數的性質及已知三角函數值求角等基礎知識，考查綜合運用三角函數有關知識的能力.滿分12分
（I）解法一：
……4分
當，即時，取得最大值
因此，取得最大值的自變量x的集合是.……8分
解法二：
……4分
當，即時，取得最大值.
因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分
（Ⅱ）解：
由題意得，即.
因此，的單調增區間是.…………12分
（18）本小題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎知識，考查學生運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分.
（Ⅰ）解：甲班參賽同學恰有1名同學成績及格的概率為
乙班參賽同學中恰有一名同學成績及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績幾個的概率為
…………………………6分
（Ⅱ）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學成績都不及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學中至少有一名同學成績都不及格的概率為
…………………………12分
解法二：甲、乙兩班參賽同學成績及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學中恰有2名同學成績及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學中恰有3名同學成績及格的概率為
甲、乙兩班4同學參賽同學成績都及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率為
……………………12分
（19）本小題主要考查空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力.滿分12分
（Ⅰ）證明：、分別是正方形的邊、的中點.
且
四邊形是平行四邊形
平面而平面
平面
（Ⅱ）解法一：點在平面內的射影在直線上，過點用平面垂足為連接
為正三角形
在的垂直平分線上。
又是的垂直平分線
點在平面內的射影在直線上
過作，垂足為，連接則
是二面角的平面角，即
設原正方形的邊長為，連接，
在折后圖的中，
為直角三角形，
在中，
解法二：點在平面內的射影在直線上，連結，在平面內過點作，垂足為
為正三角形，為的中點，
又
平面
平面
又，且，平面，平面，
平面，
為在平面內的射影。
點在平面內的射影在直線上
過作，垂足為，連結，則，
是二面角的平面角，即
設原正方形的邊長為。
在折后圖的中，，
為直角三角形，，
，
在中，，
，
解法三：點在平面內的射影在直線上連結，在平面內過點作，垂足為
為正三角形，為的中點
又
平面，
平面，
平面平面
又平面平面，
平面，即為在平面內的射影，
點在平面內的射影在直線上。
過作，垂足為，連結，則
是二面角的平面角，即
設原正方形的邊長為
在折后圖的中，.
為直角三角形，.
.
在中，,
,
,
.????????????12分
(20)本小題考查數列的概念，等差數列，等比數列，對數與指數互相轉化等基礎知識。考查綜合運用數學知識解決問題的能力。滿分12分.
(Ⅰ)解法一：當時，,
當時,.
是等差數列,
,
????????????4分
解法二：當時,,
當時,.
當時,.
.
又,
所以,得.????????????4分
(Ⅱ)解：,
.
又,
,
????????????8分
又得.
,,即是等比數列.
所以數列的前項和.???????????12分
(21)本小題考查多項式函數的導數，函數極值的判定，二次函數與二次方程等基礎知識的的綜合運用，考查用數形結合的數學思想分析問題，解決問題的能力.滿分12分.
(Ⅰ)解：,
令，由得或.????????????2分
.
當時，，
當時,,
所以處取極小值，即......................6分
（II）解：
處取得極小值，即
由即
................9分
由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得.
即
由四邊形ABCD的面積為1，得
即得d＝1，
從而得
......................12分
(22)本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力，滿分14分。
（I）證法一：
即
整理得
......................12分
設點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則
即
展開上式并將①代入得
故線段是圓的直徑。
證法二：
即，
整理得
①……3分
若點在以線段為直徑的圓上，則
去分母得
點滿足上方程，展開并將①代入得
所以線段是圓的直徑.
證法三：
即，
整理得
以為直徑的圓的方程是
展開，并將①代入得
所以線段是圓的直徑.
（Ⅱ）解法一：設圓的圓心為，則
，
又
所以圓心的軌跡方程為：
設圓心到直線的距離為，則
當時，有最小值，由題設得
……14分
解法二：設圓的圓心為，則
又
…………9分
所以圓心得軌跡方程為…………11分設直線與的距離為,則
因為與無公共點.
所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為
將②代入③，有
…………14分
解法三：設圓的圓心為，則
若圓心到直線的距離為，那么
又
當時，有最小值時，由題設得
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