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[文件]  sxglija0030.doc

[科目]  數學

[年級]  高中

[章節] 

[關鍵詞]  錐體/體積

[標題]  錐體的體積

[內容]

錐體的體積

北京陳經綸中學  丁益祥

教學目標

1.使學生掌握錐體的體積公式及其初步應用；

2.通過三棱錐體積公式的探求，教學生學習觀察、類比、歸納、猜想等合理推理方法，培養

學生分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力；

3.通過三棱錐體積公式的探求，培養學生獨立思考、刻苦鉆研、孜孜以求的毅力及勇于探索

創新的精神等良好的個性品質.

教學重點和難點

三棱錐體積公式及其探求.

教學設計過程

師:前幾節課我們先后學習了祖■原理和柱體的體積公式，在開始講本章知識下久，我們還

學習了錐體平行于底面的截面的性質.現在請同學們分別回憶一下上述三個知識內容，誰來

回答錐體平行于底面的截面的性質是什么?

生1:如果棱錐(或圓錐)被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的

比等于截得的棱錐(或圓錐)的高和原棱錐(或圓錐)高的平方比.

師:很好!下面誰來回答祖■原理是如何敘述的?

生2:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得

的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

師:回答正確.請同學們一起回答:柱體的體積公式是怎么表示的?

生:柱體的體積等于它的底面積乘以高，即V柱體=Sh.

師:當這個柱體是圓柱時，其體積還有別的表達形式嗎?

生3:V圓柱=πr2h,其中r是底面半徑，h是圓柱的高.

師:不錯.誰能說說底面積是S，高是h的柱體體積公式的探求思路嗎?

生4:我們構造一個與所給柱體等底面積等高的長方體，把它與所給柱體的下底面放在同一

個平面α上.由于它們上、下底面平行，且等高，故它們的上底面必在與α平行的同一個平

面β內，現在用平行于α的任意平面去截它們時，由于所得的截面都與它們的底面分別平行

，因此截面積都等于S.由祖■原理知，它們的體積相等，而V長方體=Sh，所以V柱體=Sh.

師:很好!生4利用祖■原理獲得了等底面積等高的柱體與長方體(兩個柱體)等體積，那么等

底面積等高的兩個錐體的體積之間有什么關系呢?(師邊問邊板書“等底面積等高的兩個錐體

的體積之間的關系”一語)

生:相等.

師:你們怎么知道它們的體積是相等的.

生:猜想的.(也有的說是估計的)

師:猜想也好，估計也罷，都是有風險的，盡管如此，但它常常是“發現”的先導.能證實

你們的猜想嗎?

生5:用祖■原理.設有任意兩個錐體，不妨選取一個三棱錐，一個圓錐，并設它們的底面

積都是S，高都是h(如圖1).①把這兩個錐體的底面放在同一個平面α上，由于它們的高相

等，故它們的頂點必在與α平行的同一個平面β上，即這兩個錐體可夾在兩個平行平面α，

β之間；②用平行于平面α的任意平面去截這兩個錐體，設截面面積分別為S₁，S₂，截面和

頂點的距離是h₁,體積分別為V₁，V₂，則由錐體平行于底面的截面性質知:

所以=，   故S₁=S₂.

由祖■原理知:V₁=V₂.

(生敘述師板書)

師:完全正確!我們再請一位同學用命題的形式完整地敘述一下上述問題的條件和結論.

生6:如果兩個錐體的底面積相等，高也相等，那么它們的體積相等.

師:同學們對生6的概括有不同意見嗎?

生:沒有!

師:生6的概括是正確的，但我們可以敘述得更簡練一些.

生6:對了，可以敘述為:等底面積等高的兩個錐體的體積相等.

師:很好!這個命題是課本中第100頁的定理.(師隨即把前面板書的“等底面積等高的兩個

錐體體積之間的關系”一語中的“之間的關系”五字擦掉，補上“相等”二字，同時在前面

添上“定理”二字)我們干脆請生6再重申一下:定理有哪幾個條件?結論是什么?

生6:條件有兩個:一個是兩個錐體的底面積相等，另一個是這兩個錐體的高相等.結論是體

積相等.

(由學生提出問題、分析問題并解決問題，這是對學生最高層次的要求.當學生達不到這個

層次時，可由老師提出問題，學生分析問題和解決問題.老師提出問題后要給學生觀察、比

較、分析、歸納、猜想、發現的時間.著名數學教育家波利亞曾指出:只要數學的學習過程

稍能反映出數學發明的過程，那么就應當讓猜想、合理推理占有適當的位置.猜想后還要嚴

格地證明，合情推理與邏輯推理并重，既教證明又教猜想，這才是解決問題的完整過程.)

師:上述定理只是回答了具有等底面積等高的兩個錐體的體積之間的相等關系，但這個體積

如何求出，能否像柱體那樣有一個體積公式仍然是一個謎.然而它卻給我們求錐體體積一個

有益的啟示:只須找到一個“簡單”的錐體作為代表，如果這個代表的體積求出來了，那么

，由上述定理即可獲得其它錐體的體積了.請同學們思考用怎樣的“簡單”錐體作代表來研

究呢?

生:三棱錐!(一小部分同學有些疑惑)

師:能說說你們的想法嗎?

生7:因為我們較熟悉棱錐，而在棱錐中，三棱錐底面多邊形的邊數量少，似乎要更“簡單

”些.

師:有道理!我們選出的“代表”當然應該首先是我們熟悉的，由于三角形是最簡單的多邊

形，類比地，我們有理由這樣說，三棱錐是較“簡單”的棱錐.那么，怎樣研究三棱錐的體

積呢?(板書:三棱錐的體積，并作出一個底面積為S的，高為h的三棱錐A′-ABC，如圖2)

生:……(思維受阻)

師:(啟發一下)請同學們回憶一下求如下兩個圖形(圖3)面積的方法:

生8:對(1)可將它分成一個半圓和一個正方形，分別計算出它們的面積，再相加即可；對(2

)，可將三角形先補成一個平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積，再除以2即得三角形

面積.

(在生8敘述時，師圖示如下)

師:先割后補與先補后割是處理幾何問題時常用的方法，即我們常說的割補法.類比地，能

否將這一思維方式遷移到探求三棱錐的體積上來呢?

生:(幾乎異口同聲地)能!

師:那么是采用先割后補，還是先補后割呢?鄰近的同學可以相互討論一下.

(學生之間小聲討論，選擇這兩種方法的學生都有)

師:我們請一位同學說說自己選擇的方法及其理由，誰來說?生9想好了嗎?

生9:我認為先補后割比較好，至于先割后補，我覺得不行.

師:能說說否定先割后補的理由嗎?

生9:……(似有難色)

師:誰能試著割一下?

生10:對一個三棱錐進行分割，實際上是用一個平面去截它.無論怎么截，得到的要么仍是

三棱錐，要么是比三棱錐更為復雜的幾何體.所以對三棱錐再分割是不合適的.

師:其他同學以為如何?

生:生10的解釋是對的.

師:既然如此，我們可否定先割后補，而肯定先補后割，剛才生9就是這個意見，現在也是

大家的意見了，那么，補成怎樣的幾何體較合適呢?

生:補成三棱柱.

師:誰能具體說說?

生11:把三棱錐A′-ABC以底面ΔABC為底面，AA′為側棱補成一個三棱柱ABC-A′B′C′

.

師:請你在黑板上具體補出來.

生11:(上黑板補畫圖形如圖5)

師:生11完成了補形的任務，下面該進行什么工作了?

生:分割.

師:如何分割.

生:分割成三個三棱錐.

師:請生12上來具體分割一下.

(生12上黑板分割三棱柱ABC-A′B′C得三棱錐1，2，3.如圖6)

師:很好!生12的圖形畫得很規范.現在請同學們預測一下分割而得的三個三棱錐之間有何

關系?

生:體積相等.

師:能簡要地說明你們預測的依據嗎?

生13:我沒有證明，但我想它們的體積應該相等，這是因為剛才回憶求三角形面積時，將三

角形補成一個平行四邊形(平面圖形)后再分割成的兩個三角形等面積.類比地，我們將三棱

錐補成一個三棱柱(空間圖形)后再分割成三個三棱錐當然應該體積相等.

師:生13由平面圖形的處理結果類比地預測空間圖形的相應結果不無道理.同學們的預測實

際上也是我們的希望.而怎樣使我們的希望、預測變為現實，還需要嚴格證明，那么怎樣證

明這三個三棱錐1，2，3等體積呢?

(引導學生思考兩個錐體等體積的依據――前面定理的條件:(1)等底面積，(2)等高)

生14:(生14敘述，師板書)在三棱錐1，2中，S_ΔABA′=S_ΔB′A′B，又由于它們有相同頂

點C，故高也相等，所以V₁=V₂.又在三棱錐2，3中，S_ΔBCB′=S_ΔB′C′C，它們有相同頂

點A′，故高也相等.所以V₂=V₃，所以V₁=V₂=V₃.

生15:在證得V₁=V₂后，再證明V₁=V₃也很方便.

(生15敘述，師板書)

因為在三棱錐1，3中，S_ΔABC=S_{ΔA′B′C′}，高也相等(都等于三棱錐的高).所以V₁=V₃.

故V₁=V₂=V₃=V_三棱柱.而V_三棱柱=Sh，

所以  V_三棱錐=Sh.

師:非常好!到目前為止，我們已經解決了三棱錐的體積問題，也就是說，解決了一個“錐

體大家庭”中的“代表”的體積問題.那么一般錐體的體積又如何呢?(設一般錐體的底面積

為S，高為h)

生:V_錐體=Sh.(師板書)

師:誰能對這一結果的來源作出解釋?

生16:構造一個三棱錐，使其底面積為S，高為h，由于等底面積等高的錐體的體積相等，故

V錐體=V三棱錐=1  3Sh.

(教學生學會證明是重要的，讓學生對某一問題作出解釋也是必要的.它可以使學生從整體

上把握問題的來龍去脈，在某種情況下比只讓學生機械的證明要好.它是培養學生語言表達

能力，數學交流能力，培養學生數學素養的一個重要途徑.)

師:生16從整體上就一般錐體的體積公式的獲得作了簡明扼要的解釋.我們知道，圓錐是一

類典型的特殊錐體，對于圓錐的體積，有何別的表達式?

生17:V_圓錐=πr2h.(師板書)

師:這里r,h的意義分別是什么?

生17:r表示圓錐的底面半徑，h表示圓錐的高.

師:至此，我們已獲得了錐體的體積公式V_錐體=Sh.對圓錐來說，還可以用底面半徑r及

高h來表達體積，即V_圓錐=πr2h.作為應用，請同學們看這樣一個問題:

(用投影儀打出)

(由課本第103頁練習題1改編)

如圖7，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，已知棱長為a，求:

(1)三棱錐B′-ABC的體積；

(2)這個三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾；

(3)B到平面AB′C的距離?

(若沒時間，可留做課后思考，要求用兩種方法求解)

(請生18解答(1)，(2)，生19解答(3)，其余同學在座位上完成，師巡視)

(生18板演(1)(2))

(1)因為  正方體棱長為a，所以  S_ΔABC=a，高h=a.

所以V_B′-ABC=SΔABC?h=?a?a=a.

(2)因為  V_正方體=a，

所以V_B′-ABC∶V_正方體=.

(生19板演(3))

解法1:如圖8.

過B作BO⊥面AB′C于O，則O必為ΔAB′C的重心.連AO并延長交B′C于M，

因為  AB′=B′C=CA=a,

所以  AM=?a=a,OA=AM=a.

在RtΔAOB中，BO==，

即B到面AB′C的距離為a.

解法二:

設B到面AB′C距離為h,

因為  AB′=B′C=CA=a，

所以  SΔAB′C= (a)=a，

因此  ?a?h=V_B-AB′C= V_B′-ABC =?a?a=a，

故h=a 即B到面AB′C的距離為a.

(師生共同評判)

師:我們讓生19說說解法二的思路.

生19:我注意到三棱錐B?AB′C與三棱錐B′?ABC是同一個三棱錐.

所以 ?S_ΔAB-C?h=V_B-AB′C=V_B-ABC，而V_B′-ABC易求，S_ΔAB′C也易求，這樣h

即可求出.

師:非常好.生19的方法一是常規方法，而方法二則巧用了三棱錐的體積，使問題的求解變

得十分簡捷.這種方法稱作頂點轉換法，有時也稱作等積轉換法.事實上三棱錐(即四面體)的

每一個頂點都可作為棱錐的頂點，和它相對的面都可作為相應的底面，這是三棱錐(四面體)

特有的性質.在一定的條件下，它為我們求解頂點到底面的距離提供了捷徑，應當引起我們

的注意.

今天這節課我們主要學習了錐體的體積公式，下面請同學們就知識和思維能力兩個方面作一

下小結.(請學生自行小結，師生共同補充完善)

1.知識方面:通過本節課學習，我們利用割補法獲得了三棱錐的體積公式，進而獲得了一般

錐體的體積公式，并初步體會了其應用；

2.思維能力方面:又一次體會了聯想、類比、猜測、證明等合情推理及邏輯推理的方法在探

索新知識方面的重要作用.

作業:略.

課堂教學設計說明

1.關于教學目標的制定

在課堂教學中實施和推進素質教育，正愈來愈被廣大教師所重視.由于學生的素質是多方面

的，這就決定了課堂教學的目標應該是多元化的.

(1)錐體的體積是多面體和旋轉體這一章的重點內容之一，在體積問題中有著重要的地位，

將錐體的體積公式及其初步應用作為本節課的教學目標之一是完全合適的.

(2)學生思維方法的好與差，推理能力的強與弱，在一定程度上反映了學生素質的高與低.

因此，如何通過課堂教學，教學生學習合情推理的方法，培養學生邏輯推理能力，是我們制

定教學目標時必須認真思考的.

(3)未來社會不僅要求人們具有豐富的文化科學知識，而且還需要人們具有頑強的毅力及創

新的意識.教學目標3正是據此而制定的.

2.關于教學重點和難點的確定

本節課的核心內容是錐體的體積，而錐體體積公式的探求需要教師逐步喚醒學生割補思想的

記憶，努力使學生自行發現知識，掌握知識，發展學生的創造性思維，這對教師和學生都是

較高的高求.因而錐體的體積公式及其探求既是教學的重點，又是教學的難點.

3.關于教學過程的設計

本節課按如下五個方面展開:

(1)復習三個問題――①錐體平行于底面的截面的性質；②祖■原理；③柱體的體積公式及

其探求思路；

(2)等底面積等高的兩個錐體的體積之間的關系；

(3)三棱錐的體積公式的探求；

(4)一般錐體的體積公式，圓錐的體積公式；

(5)錐體體積公式的簡單應用.

有目的地做好舊知識的復習，為順利地進行新課的講授奠定了基礎.(1)中的三個復習題主

要是為推導“等底面積等高的兩個錐體的體積相等”這一定理而準備的.提問時應注意必要

的順利.

這里，祖■原理在問題③的回答中要應用，因而放在③前面提問.而由問題③的“探求思路

”的回答中，利用祖■原理獲得了“等底面積等高的柱體和長方體等體積”的結論，很自然

地讓人產生“等底面積等高的錐體體積之間有何關系”的聯想.這樣，舊課的復習很自然地

過渡到了新課的講授.因此，把問題③放在最后復習比把問題①放在最后復習要好得多.

“等底面積等高的錐體的體積相等”這一結論是推導三棱錐體積公式的重要工具.由復習題

③中“探求思路”的回憶，引導學生先猜后證，讓學生自己發現知識，自行“制造”推導三

棱錐體積公式的“工具”，這是發揮學生主體作用的重要體現.

三棱錐體積公式的探求是本節課的核心內容，如果像教材中那樣，直接將三棱錐補成一個三

棱柱，然后將其分割成三個三棱錐，再求體積，那么，雖然教師備課可以少用許多時間，然

而，學生對“怎樣想到利用割補法”，“為什么要先補后割”往往疑惑不解.這里，在(3)

中插入兩個幾何圖形面積公式的探求思路的回憶，旨在喚醒學生割補思想的記憶，啟發學生

的思維.通過聯想類比，學生感悟探求三棱錐體積也用割補法已水到渠成.爾后，圍繞“先

割后補”還是“先補后割”的問題，引導學生自己動手一試，相互討論，比較優劣，從而肯

定“先補后割”，并對“如何補，怎樣割”，鼓勵學生自己操作.最后，讓學生自己推導公

式，這是對學習主體的尊重，這樣做旨在為學生掃清這一知識形成過程中的思維障礙，使整

個思維過程和知識形成過程構成一個完美的統一體.顯然，這種教學氛圍的營造，使學生在

舊知識的溫故中，發現了打開新知識寶庫大門的鑰匙，在探索知識奧秘的征途上，創造性的

邁開了自己堅實的一步.學生表現出了極強的思維積極性和探索毅力，創新意識，創造能力

和創造精神得到了培養.

由三棱錐體積公式的探求到一般錐體體積公式的獲得，再到圓錐體積公式的表達，這是特殊

―一般―特殊的思維過程.經常有意識的進行這樣的訓練，學生的思維方法、思維能力必將

得到極大的提高.