絕密★啟用前
2009年中衛市沙坡頭區高考第一次模擬考試
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅱ卷第22、23、24題為選考題，其他題為必考題。考生做答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1、答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準考證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上。
2、選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3、請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效。
4、保持卡面清潔，不折疊，不破損。
5、作選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑。
參考公式：
樣本數據
，
，
，
的標準差 錐體體積公式
其中
為標本平均數 其中
為底面面積，
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
，
其中為底面面積，為高 其中
為球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、設全集
,則
= (
)
A．
B．
C．
D．
2、下列大小關系正確的是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3、已知a,b為正實數，且
的最小值為（ ）
A．
B．
D．3+
4、已知變量
滿足
則
的最小值是( )
A．1
B．
5、過點P（1，2）作直線
，使直線與點M（2，3）和點N（4，?5）距離相等，則直線的方程為 （ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
6、若m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則以下命題正確的是( )
A．若m∥α，m
β，α∩β=n，則m∥n B．若m∥α，nα，則m∥n
C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，則n⊥α
7、已知sin2a=－
, a∈(－,0)，則sina+cosa=（ ）
A．－
B． C．－
D．
8、在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C所對的邊，設向量
，若
,則角A的大小為（ ）
A.
B. 
C.
D.
9、已知函數
（其中
）的圖象如下面右圖所示，則函數
的圖象是( )
A． B．
C． D．
10、數列1，
的前2008項的和（ ）
A. 
B.
C. 
D.
11、函數
的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為（ ）
A．
B．
12、曲線y=2sin(x + )cos(x －)和直線y= 在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記為P1，P2，P3，…，則|P2P4|等于
（ ）
A ．π
B ．2π
C． 3π
D ．4π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13、已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點p(1，1)處的切線互相垂直，則
為
14、已知tan(α+)=
,tan(β-)=
,則tan(
)=
15、若兩個向量
與
的夾角為q，則稱向量“×”為“向量積”，其長度|×|=||•||•sinq。已知||=1，||=5，•=－4，則|×|= 。
16、將全體正整數排成一個三角形數陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為
三、解答題
17、（本小題12分）已知向量
，
，定義
⑴求函數
的最小正周期和單調遞減區間；
⑵求函數在區間
上的最大值及取得最大值時的
.
18．（本小題12分）如圖，在直三棱柱（側棱垂直與底面）
中，
，
，
，點D是
的中點.
⑴求證：
；
⑵求證：
平面
；
⑶求直線
與直線
所成角的余弦值.
19 （本小題12分）如圖，點A，B分別是橢圓
的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：
且
.
⑴求直線AP的方程；
⑵設點M是橢圓長軸AB上一點，
點M到直線AP的距離等于
，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
20、（本小題12分）已知實數
，數列
的首項
，前
項和
滿足 ：
（
）
⑴求證：數列是等比數列；
⑵設數列的公比為
，數列
滿足
，
（），
求數列的通項
及前項的和
.
21、（本小題12分）已知函數
在
上是增函數，在
上是減函數.
⑴求函數的解析式；
⑵若
時，
恒成立，求實數m的取值范圍；
⑶是否存在實數b，使得方程
在區間
上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由.
22.（4-1幾何證明選講）（本小題10分）
如圖圓O和圓
相交于A，B兩點，AC是圓的切線，AD是圓O的切線，
若BC=2，AB=4，求BD.
23、（4-4極坐標與參數方程）（本小題10分）
已知直線的參數方程為
（t為參數），
曲線C的參數方程為
（θ為參數）.
⑴將曲線C的參數方程化為普通方程；
⑵若直線l與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長.
24、（4-5不等式選講）（本小題10分）
設函數
.
⑴求不等式
的解集；
⑵求函數的最小值.
中衛市城區試卷
數學試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、設全集,則= ( c )
A． B． C． D．
2、下列大小關系正確的是（ b ）
A、
B、
C、
D、
3、已知a,b為正實數，且的最小值為（ d ）
A． B． D．3+
4、已知變量滿足則的最小值是(
b )
A．1
B．
5、過點P（1，2）作直線，使直線與點M（2，3）和點N（4，?5）距離相等，則直線的方程為 （
d ）
A．
B．或
C．
D．或
6、若m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則以下命題正確的是( a )
A．若m∥α，mβ，α∩β=n，則m∥n B．若m∥α，nα，則m∥n
C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，則n⊥α
7、已知sin2a=－, a∈(－,0)，則sina+cosa=（
b ）
A．－ B． C．－ D．
8、在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C所對的邊，設向量，若,則角A的大小為（ c
）
A.
B. C.
D.
9、已知函數（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數的圖象是( a )
A． B． C． D．
10、數列1，的前2008項的和（ d
）
A、 B、
C、 D、
11、函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為（ c ）
A． B．
12、曲線y=2sin(x + )cos(x －)和直線y= 在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記為P1，P2，P3，…，則|P2P4|等于 （ a ）
A ．π B ．2π C． 3π D ．4π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13、已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點p(1，1)處的切線互相垂直，則為
14、已知
1 
15、若兩個向量與的夾角為q，則稱向量“×”為“向量積”，其長度|×|=||•||•sinq。已知||=1，||=5，•=－4，則|×|= 3 。
16、將全體正整數排成一個三角形數陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為 
三、解答題
17、已知向量，，定義
⑴求函數的最小正周期和單調遞減區間；
⑵求函數在區間上的最大值及取得最大值時的.
解答：⑴
…………..2分
所以
；
……………………………..4分
由
，得的減區間
……6分
⑵由
，得
，
；…………9分
所以當
時，
，
……….12分
18．如圖，在直三棱柱（側棱垂直與底面）中，，
，，點D是的中點.
⑴求證：；
⑵求證：平面；
⑶求直線與直線所成角的余弦值.
解答：⑴∵
∴∠ACB=90°，AC⊥BC
∵CC1⊥AC,CC1∩BC=C
∴AC⊥面BB
面BB……..4分
⑵連接BC1交B
∵四邊形BB
又∵點D為BA的中點 ∴OD∥AC1 ∵OD平面CDB1，AC1
平面CDB1
∴AC1∥平面CDB1 ………………8分
⑶由⑵知∠COD為AC1與B
∵B
∴OC=
，OD =
，CD =.
…………12分
19 
如圖，點A，B分別是橢圓的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：且.
⑴求直線AP的方程；
⑵設點M是橢圓長軸AB上一點，
點M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
解答： ⑴由題意得
，直線AP的方程為：
…………4分
⑵設
，則
，解得
或
（舍去），故
.
，
，
所以當
時，
，即
…………12分
20 已知實數，數列的首項，前項和滿足 ：
（）
⑴求證：數列是等比數列；
⑵設數列的公比為，數列滿足，（），
求數列的通項及前項的和.
解答：⑴由題意得，當
時，有
①
②
兩式相減得
，即
所以
（常數），所以是公比為
的等比數列…………..4分
⑵由⑴可知
，當時，
，即
所以是公差為
的等差數列，所以
，………….8分
………………….12分
21.已知函數在上是增函數，在上是減函數.
⑴求函數的解析式；
⑵若時，恒成立，求實數m的取值范圍；
⑶是否存在實數b，使得方程在區間上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由.
解答：⑴
依題意得
，所以
，從而
……….4分
⑵ 
令
，得
或
（舍去），所以
………8分
⑶設
，即
，
.
又
，令
，得
；令
，得
.
所以函數
的增區間
，減區間
.
要使方程有兩個相異實根，則有
，解得
……..12分
22.（4-1幾何證明選講）如圖圓O和圓相交于A，B兩點，AC是圓的切線，AD是圓O的切線，
若BC=2，AB=4，求BD.
解答：易證
∽
，…………5分
所以
，
…………10分
23、（4-4極坐標與參數方程）
已知直線的參數方程為（t為參數），
曲線C的參數方程為（θ為參數）.
⑴將曲線C的參數方程化為普通方程；
⑵若直線l與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長.
解答：⑴
…………5分
⑵將代入，并整理得
設A，B對應的參數為
，
，則
，
…………10分
24、（4-5不等式選講）
設函數.
⑴求不等式的解集；
⑵求函數的最小值.
解答：
⑴①由
解得
；②
解得
；
③
解得
；綜上可知不等式的解集為
……5分.
⑵如圖可知
………….10分
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