2008年山東省青島市初級中學學業水平考試
數學試題
（考試時間：120分鐘；滿分120分）
一、選擇題（本題滿分21分，共有7道小題，每小題3分）
1．
的相反數等于（ ）
A．
B． C．
D．
2．下列圖形中，軸對稱圖形的個數是（ ）
A．1 B．
3．已知⊙
和⊙
的半徑分別為3cm和2cm，圓心距
cm，則兩圓的位置關系是（ ）
A．相切 B．內含 C．外離 D．相交
4．某幾何體的三種視圖如下圖所示，則該幾何體可能是（ ）
A．圓錐體 B．球體 C．長方體 D．圓柱體
5．一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數的前提下，小明為估計其中的白球數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，
，不斷重復上述過程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據上述數據，小明可估計口袋中的白球大約有（ ）
A．18個 B．15個 C．12個 D．10個
6．如果點
和點
是直線
上的兩點，且當
時，
，那么函數
的圖象大致是（ ）
7．如圖，把圖①中的
經過一定的變換得到圖②中的
，如果圖①中上點
的坐標為
，那么這個點在圖②中的對應點
的坐標為（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題（本題滿分21分，共有7道小題，每小題3分）
8．計算：
．
9．化簡：
．
10．如圖，在矩形
中，對角線
相交于點
，若
，
cm，則
的長為
cm．
11．如圖，
是⊙的直徑，弦
于
，如果
，
，那么
的長為
．
12．為了幫助四川地震災區重建家園，某學校號召師生自愿捐款．第一次捐款總額為20000元，第二次捐款總額為56000元，已知第二次捐款人數是第一次的2倍，而且人均捐款額比第一次多20元．求第一次捐款的人數是多少？若設第一次捐款的人數為
，則根據題意可列方程為
．
測試項目
測試成績
面試
90
95
綜合知識測試
85
80
13．某市廣播電視局欲招聘播音員一名，對
兩名候選人進行了兩項素質測試，兩人的兩項測試成績如下表所示．根據實際需要，廣播電視局將面試、綜合知識測試的得分按
的比例計算兩人的總成績，那么
（填或）將被錄用．
14．如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑
長為10cm．母線
長為10cm．在母線
上的點處有一塊爆米花殘渣，且
cm，一只螞蟻從杯口的點處沿圓錐表面爬行到點．則此螞蟻爬行的最短距離為
cm．
用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
三、作圖題（本題滿分6分）
15．如圖，
表示兩條相交的公路，現要在
的內部建一個物流中心．設計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路交叉處點的距離為1000米．
（1）若要以
的比例尺畫設計圖，求物流中心到公路交叉處點的圖上距離；
（2）在圖中畫出物流中心的位置．
解：（1）
（2）
四、解答題（本題滿分72分，共有9道小題）
16．（本小題滿分6分）
用配方法解一元二次方程：
．
17．（本小題滿分6分）
某市為調查學生的視力變化情況，從全市九年級學生中抽取了部分學生，統計了每個人連續三年視力檢查的結果，并將所得數據處理后，制成折線統計圖和扇形統計圖如下：
解答下列問題：
（1）該市共抽取了多少名九年級學生？
（2）若該市共有8萬名九年級學生，請你估計該市九年級視力不良（4.9以下）的學生大約有多少人？
（3）根據統計圖提供的信息，談談自己的感想（不超過30字）．
18．（本小題滿分6分）
小明和小剛用如圖所示的兩個轉盤做配紫色游戲，游戲規則是：分別旋轉兩個轉盤，若其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉出了藍色，則可以配成紫色．此時小剛得1分，否則小明得1分．
這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．若你認為不公平，如何修改規則才能使游戲對雙方公平？
19．（本小題滿分6分）
在一次課題學習課上，同學們為教室窗戶設計一個遮陽蓬，小明同學繪制的設計圖如圖所示，其中，表示窗戶，且
米，
表示直角遮陽蓬，已知當地一年中在午時的太陽光與水平線
的最小夾角
為
，最大夾角
為
．
請你根據以上數據，幫助小明同學計算出遮陽蓬中的長是多少米？（結果保留兩個有效數字）
（參考數據：
，
，
，
）
20．（本小題滿分8分）
2008年8月，北京奧運會帆船比賽將在青島國際帆船中心舉行．觀看帆船比賽的船票分為兩種：A種船票600元/張，B種船票120元/張．某旅行社要為一個旅行團代購部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買A，B兩種船票共15張，要求A種船票的數量不少于B種船票數量的一半．若設購買A種船票張，請你解答下列問題：
（1）共有幾種符合題意的購票方案？寫出解答過程；
（2）根據計算判斷：哪種購票方案更省錢？
21．（本小題滿分8分）
已知：如圖，在正方形中，
是上一點，延長
到，使
，連接
并延長交
于
．
（1）求證：
；
（2）將
繞點
順時針旋轉
得到
，判斷四邊形
是什么特殊四邊形？并說明理由．
22．（本小題滿分10分）
某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷售量
（件）與銷售單價（元）的關系可以近似的看作一次函數（如圖）．
（1）求與之間的函數關系式；
（2）設公司獲得的總利潤（總利潤
總銷售額
總成本）為元，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；根據題意判斷：當取何值時，的值最大？最大值是多少？
23．（本小題滿分10分）
實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人．為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？
建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：
在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：
（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：
（如圖①）；
（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？
我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：
（如圖②）
（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？
我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：
（如圖③）：
（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？
我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：
（如圖⑩）
模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍、綠五種顏色的小球各20分（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是 ；
（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數是 ；
（3）若要確保摸出的小球至少有
個同色（
），則最少需摸出小球的個數是 ．
模型拓展二：在不透明口袋中裝有
種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是 ．
（2）若要確保摸出的小球至少有個同色（），則最少需摸出小球的個數是 ．
問題解決：（1）請把本題中的“實際問題”轉化為一個從口袋中摸球的數學模型；
（2）根據（1）中建立的數學模型，求出全校最少需抽取多少名學生．
24．（本小題滿分12分）
已知：如圖①，在
中，
，
，
，點由出發沿
方向向點勻速運動，速度為1cm/s；點
由出發沿方向向點
勻速運動，速度為2cm/s；連接
．若設運動的時間為
（
），解答下列問題：
（1）當
為何值時，
？
（2）設
的面積為（
），求與之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，使線段恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接
，并把
沿
翻折，得到四邊形
，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．
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