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(4)難道不是無理數嗎？

(5)天吶！

(6)正方形四條邊相等。

（(1) 沒有完整的意義，不能判斷真假，不是命題；(2)是命題，是真命題；(3)是命題，是假命題； (4)是疑問句，不是命題；(5)是感嘆句，不是命題；(6)是命題，是真命題）

匯總：一個語句是命題，它必須滿足：能判斷真假，是陳述句，有完整的意義

1、就上面是命題的例子，都可以轉換成“如果……，那么……”的命題形式

題號

轉換為“如果….那么……”的形式

(2)

如果三個角是一個三角形的內角，則它們的和是180⁰

(3)

如果兩條線是平行線，則它們相交

(6)

如果一個四邊形是正方形，那么它們的四條邊相等

2、命題(2)中，如果p則q,p稱此命題的條件，q稱結論；將條件與結論倒過來，得到：

如果三個角的和是180⁰，那么它們是一個三角形的內角――稱原命題的逆命題；這樣原命題也是它的逆命題，稱互逆關系

將原命題條件和結論全部否定，得到：

如果三個角不是三角形的內角，則它們的內角和不是180⁰――稱原命題的否命題；這樣原命題也是它的否命題，稱二者互否的關系。

將逆命題條件和和結論全部否定，得到：

如果三個角的和不是180⁰，那么它們不是一個三角形的內角――稱原命題的逆否命題；這樣原命題也是它的逆否命題，稱互為逆否關系；可以看出，它與逆命題是互否關系，與否命題是互逆關系。

一般的有

例1、將命題“負數的平方是正數”寫成“若p則q”的形式，再寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假

解：原命題：若一個數是負數，則它的平方是正數．（真）

    逆命題：若一個數的平方是正數，則它是負數．（假）

    否命題：若一個數不是負數，則它的平方不是正數．（假）

逆否命題：若一個數的平方不是正數，則它不是負數（真）

練習：將下列兩個命題寫成“若p則q”的形式，再寫出其逆命題、否命題、逆否命題。并判斷它們的真假

(1)奇函數的圖象關于原點對稱

(2)已知a,b∈R,a+b為無理數時，a、b都是無理數

例2、如果一個命題的否命題是“若x+y≤0，則x≤0”，寫出其原命題、逆命題和逆否命題，并判斷它們的真假

解：原命題：若x+y>0，則x>0   (假)

    逆命題：若x>0,則x+y>0    (假)

    否命題：若x+y≤0，則x≤0  （假）

  逆否命題：若x≤0，則x+y≤0   （假）

由上面例子，你能得到四種命題真假的什么結論？（互為逆否的兩個命題同真假，這給我們提供了一個解題思路：如果原問題很難看懂情況下，考慮其逆否命題）

練習：教材P7---練習題

例3、m是n的逆命題，m的否命題是r，則n是r的什么命題？

解：逆否命題

 2、互為逆否的兩個命題同真假

[補充習題]

1、命題“若y=,則x與y成反比例”的否命題為___________

2、設原命題為：“對頂角相等”，把它寫成“若p則q”的形式是_________________，寫出其逆命題、否命題、逆否命題

3、有下列四個命題：①“若xy=1，則x、y互為倒數”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③“若b≤-1，則方程x²-2bx+b²+b=0有實數根”的逆否命題；④“若A∪B=B,則AB”的逆否命題。其中真命題的序號是_____________

4、已知下列三個方程：x²+4ax-4a+3=0,x²+(a-1)x+a²=0,x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實數根，求實數a的范圍

5、已知函數f(x)對任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且當x>0時，f(x)>1,若f(4)=5,解關于x的不等式f(3m²-m-2)<3

[答案]

1、若y≠,則x與y不成反比例

2、若兩個角是對頂角，則它們相等；逆命題：若兩個角相等，則它們是對頂角；否命題：若兩個角不是對頂角，則它們不相等；逆否命題：若兩個角不相等，則它們不是對頂角

3、①③

4、

5、-1<m<4/3

§1.1.2 充分條件和必要條件（1）----判斷

【教學目標】

【教學重點難點】命題條件的充分性、必要性的判斷．

【教學過程】

一、復習回顧

1．命題：可以判斷真假的語句，可寫成：若p則q．

2．四種命題及相互關系：

3．前面討論了“若p則q”形式的命題的真假判斷，請判斷下列命題的真假：

⑴若，則；

⑵若，則；

⑶若，則；

⑷若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等．

二、講授新課

1．推斷符號“”的含義：

例如命題⑵、⑶、⑷為真，是由p經過推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．此時可記作“”．

又例如命題⑴為假，是由p經過推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此時可記作“”．

用推斷符號“”寫出下列命題：

⑴若，則；

⑵若，則；

⑶若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等．

2．充分條件與必要條件

一般地，如果已知，qp那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件．

由上述定義中，“”即如果具備了條件p，就足以保證q成立，所以p是q的充分條件，這點容易理解．但同時說q是p的必要條件是為什么呢？

應注意條件和結論是相對而言的，由“”等價命題是“”，即若q不成立，則p就不成立，故q就是p成立的必要條件了．但還必須注意，q成立時，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保證p一定成立．

如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？

充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．它符合上述的“若p則q”為真（即）的形式．“有之必成立，無之未必不成立”．

必要性：必要就是必須，必不可少．它滿足上述的“若非q則非p”為真（即）的形式．“有之未必成立，無之必不成立”．

    這樣，如果，而qp,就說p是q成立的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；如果，同時qp,就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，這樣q也是p的充要條件，p、q互為充要條件，這時，可以用符號pq表示（符號比較熟悉，常見術語有：等價、等價于、必要且只要、充要條件、當且僅當等）；如果，，稱p是q的既不充分也不必要條件。

回答下列問題中的條件與結論之間的關系：

⑴若，則；

⑵若，則；

⑶若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等．

例1：指出下列命題中，p是q的什么條件．

⑴p：，q：；

⑵p：兩直線平行，q：內錯角相等；

⑶p：，q：；

⑷p：四邊形的四條邊相等，q：四邊形是正方形．

解：⑴充分不必要條件；⑵必要不充分條件；⑶既充分又必要條件；⑷既不充分也不必要條件．

課本P8   練習1、2、3

例2、a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂均為非零實數，不等式a₁x²+b₁x+c₁>0和a₂x²+b₂x+c₂>0的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”的（    ）

                                       A．充分非必要條件.                                B．必要非充分條件.   C．充要條件   D．既非充分又非必要條件

    解：如果比值為負，M≠N；反之，如果M=N，都為時，對應項系數比值未必相等。故選D

   練習1：已知p:x+y≠3，q:x≠1或y≠2，則p是q的___________條件

A．充分非必要條件.        B．必要非充分條件.   C．充要條件       D．既非充分又非必要條件

   練習2：<1的充分不必要條件是_________

A,x>1      B,x<0        C,x>1或x<0       D,不存在

 例3、p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么p是s的______條件

分析：這種連串的問題，一般有幾個命題寫在及邊形的幾個頂點上，按已知條件連線，最后再判斷

解：必要

[補充習題]

判斷下列是什么條件，選擇字母代號填上

A．充分而不必要條件        B．必要而不充分條件C．充分必要條件         D．既不充分也不必要條件

1．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的__________

2．若條件p:a＞4，q:5＜a＜6，則p是q的______________．

3．在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的__________

4． “m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的______

   5．若都是的充要條件，是的必要條件，是的必要條件，則是的（  ）

    6、設為平面，為直線，則的一個充分條件是 （   ）

       A．                    B．

       C．                           D．

6．p：；q：．若是的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．

 [答案]BBC BBD

6、解：由于是的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件

于是有

§1.1.2 充分條件和必要條件（2）----另外題型

【教學目標】

【教學重點難點】充要條件的證明

【教學過程】

1、如何判斷p是q的什么條件？

2、判斷x>5是x>3的什么條件，x∈{1,2}是x∈{1,2,3}的什么條件，由此能得到什么結論？（充分不必要，充分不必要；設A={x|p(x)真}，B={x|q(x)真}，則p是q的充分不必要條件ABq是p的必要不充分條件）

3、在(2)條件下，什么情況下p是q的充要條件，什么情況下p是q 的既不充分又不必要條件？（p是q的充要條件A=B；p是q 的既不充分又不必要條件AB,且BA）

通過探究，我們可以用集合方法來判斷是什么條件。以前介紹的題型都是判斷p是q的什么條件的題型，二是知道什么條件求一個變量的范圍；充要條件問題，還有兩種常見的題型：一是證明p是q的充要條件，二是給出條件p找它成立的充要條件，本節重點說明這兩種踢型。

二、新課內容

例1、a,b,c為三角形的三邊，求證：方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是∠A=90⁰

分析：先找一好證的方向入手，如先有公共根導角（此時一般求出公共根→代入找邊的關系→角關系），再根據一就有了二的思路，來證明逆命題）

證明：①方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根，設公共根為x₀，則

   (1)-(2)得2(a-x)x₀+2b²=0          ∴x₀=代入(1)有

+2a+b²=0, 約掉b²去分母得b²+2a(c-a)+(c-a)²=0,a²=b²+c²      ∴∠A=90⁰

     ②∠A=90⁰∴b²=a²-c²,由(1)兩方程公共解為-a-c,代入檢驗知成立，從而方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根-a-c

總之，由①②知方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是∠A=90⁰

說明：一般地，證明“p的充要條件是q”的步驟為：

S1:從pq或qp中選一熟悉的證明

S2:證明S1中的逆命題

S3:總之p的充要條件是q

練習1：求證關于x的二次方程有一個根x=1的充要條件是a+b+c=0

練習2：在三棱錐中，，求證：的充要條件是平面平面．

例2、找二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負根的充要條件，并證明

解：二次方程ax²+2x+1=0有根的條件是△=4-4a≥0即a≤1，設f(x)= ax²+2x+1無負根的條件為

a<0,故二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負根，則0<a≤1

     猜想：二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是0<a≤1

     證明：由解答過程知二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負根，則0<a≤1

     反之，0<a≤1，則△=4-4a≥0，二次方程ax²+2x+1=0有實數根；設f(x)=ax²+2x+1，<0,f(0)= 1>0,f(x)= ax²+2x+1的兩個零點都在y軸左側，二次方程ax²+2x+1=0有兩負實數根

總之：二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是0<a≤1

說明：尋找p的充要條件的題一般步驟為：

S1:由p導出一個盡可能比較簡單的條件q

S2:猜想此條件q是p成立的充要條件

S3：由q導p,如果能導出，斷言，p的充要條件是q；否則加條件a可以導出p,此時p的充要條件為p+a

練習：當且僅當取什么整數值時，關于的一元二次方程和的根都是整數．

四、作業：

1、X,Y∈R,求證 |x + y|=|X| + |Y|的充要條件是XY ㄒ 0

2、證明一員二次方程ax²+bx+c=0有兩異號實數根的條件是a和c異號

3、求關于的方程有兩個正根的充要條件