Question

如圖（甲）所示，質量分別為m=1kg、M=2kg的A、B兩個小物塊，用輕彈簧相連而靜止在光滑水平面上，在A的左側某處另有一質量也為m=1kg的小物塊C，以v₀=4m/s的速度正對A向右做勻速直線運動，一旦與A接觸就將黏合在一起運動（黏合時間極短）．若在C與A接觸前，瞬間使A獲得一初速度v_A0，并從此時刻開始計時，規定向右為正方向，A的速度隨時間變化的圖象如圖（乙）所示（此圖象僅限C與A接觸前），彈簧始終未超出彈性限度，v_A0=6m/s．求：
（1）在C與A接觸前，當A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時，求對應狀態下B的速度，并據此在圖（乙）中粗略畫出B的速度隨時間變化的圖象（要求畫出IT時間內）．
（2）當A的速度為v_A時C與A接觸，在接觸后的運動過程中彈簧的彈性勢能為E_p，當v_A取何值時，E_p有最大值？試求出E_p的最大值．

Answer 1

分析：（1）研究A、B系統，由動量守恒定律求解B的速度
（2）當A、B、C具有相同的速度u時彈簧的彈性勢能E_P最大，由動量守恒和能量守恒定律求解．

解答：解：（1）由動量守恒定律可得：
mv_A0=mv_A+Mv_B  ①
由①式可得：vB=

m

M

(vA0-vA)②
代入v_A=6m/s、2m/s、-2m/s時，得到對應的
V_B=0、2m/s、4m/s
描給的圖象如答圖所示
（2）無論C與A如何接觸，當A、B、C具有相同的速度u時彈簧的彈性勢能E_P最大．
由動量守恒定律可得：
mv₀+mv_A0=（2m+M）u ③
由③式解得：u=2.5（m/s）
設C與A碰撞前后A的瞬時速度分別為v_A、v，碰撞過程中損失的機械能為△E，
由動量守恒和能量守恒定律可得：
mv₀+mv_A=2mv ④
△E=

1

2

mv02+

1

2

mvA2-

1

2

×2mv2⑤
由④⑤式可得：△E=

1

4

m(v0-vA)2⑥
設彈簧的最大彈性勢能為E_P，由能量守恒可得

1

2

mv02+

1

2

mvA_2=

1

2

×(2m+M)u2+△E+Ep⑦
由⑦式可得：Ep=

1

2

mv02+

1

2

mvA_2-

1

2

×(2m+M)u2-

1

4

×m(v0-vA)2⑧
由⑧式得：當v_A=v₀時C與A接觸而黏在一起，此時不損失機械能，△E=0，
E_P有最大值E_Pmax，將數據代入⑧式可得：
E_Pmax=13.5（J） 
答：（1）對應狀態下B的速度分別是0、2m/s、4m/s，
（2）當v_A取4m/s時，E_p有最大值，E_p的最大值是13.5（J）．

點評：對于這類彈簧問題注意用動態思想認真分析物體的運動過程，注意過程中的功能轉化關系；解答時注意動量守恒和能量守恒列式分析求解．