Question

兩根相距為L的足夠長的金屬直角導軌如圖所示放置，它們各有一邊在同一水平面內，另一邊垂直于水平面．質量均為m的金屬細桿ab、cd與導軌垂直接觸形成閉合回路，桿與水平和豎直導軌之間有相同的動摩擦因數u，導軌電阻不計，回路總電阻為2R，整個裝置處于磁感應強大小為B₀、方向豎直向上的勻強磁場中．當ab桿在平行于水平導軌的拉力作用下沿導軌勻速運動時，cd桿也正好以某一速度向下做勻速運動．設運動過程中金屬細桿ab，cd與導軌接觸良好，重力加速度為g．求：
（1）ab桿勻速運動的速度v₁．
（2）ab桿以v₁勻速運動時，cd稈以v₂（v₂已知）勻速運動，則在cd桿向下運動h的過程中，整個回路中產生的焦耳熱．
（3）ab桿以v₁勻速運動至ab桿距豎直導軌L₁時，保持拉力不變，磁感應強度開始隨時間發生變化，使ab桿做加速度為

g

u

的勻加速運動，試推導磁感應強度B隨時間t變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢大小，由歐姆定律求得感應電流，即得到ab所受的安培力大小；再由左手定則，來判定安培力的方向，根據受力平衡，即可求解ab桿勻速運動的速度v₁．
（2）根據ab桿勻速運動，可求出運動的距離；再由整個過程中運用能量守恒，可得出，焦耳熱等于克服安培力所做的功，即可求解整個回路中產生的焦耳熱．
（3）ab桿做加速度為

g

u

的勻加速運動時，根據牛頓第二定律得到F與加速度a的關系式，要使ab桿做勻加速運動，安培力必須為零，回路的磁通量應不變，根據磁通量不變列式，即可得到B與t的關系式．

解答：解：（1）ab桿向右運動時，產生的感應電動勢方向為a→b，大小為E=BLv₁ ①
cd桿中的感應電流方向為d→c，大小 I=

E

2R

．②
cd桿受到的安培力方向水平向右，大小為F_安=BIL ③
cd桿向下勻速運動，有mg=μF_安  ④
解①、②、③、④式得，ab桿勻速運動的速度為v₁=

2mgR

μB2L2

（2）設cd桿以v₂速度向下運動h過程中，ab桿勻速運動了s距離
則

s

v1

=

h

v2

．
整個回路中產生的焦耳熱等于克服安培力所做的功Q=F_安s
得 Q=

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

（3）ab桿、cd桿勻速運動時，有 F=μmg+F_安 ⑤
由④⑤得，F=(μ+

1

μ

)mg
ab桿做勻加速運動時，有 F-μmg-F′_安=ma
要使a恒定，必須滿足F′_安=0，感應電流為零，回路的磁通量應不變，△Φ=0
則有 B₀IL₁=BL（L₁+v1t+

1

2

at2）
解得，B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

答：
（1）ab桿勻速運動的速度v₁為

2mgR

μB2L2

．
（2）在cd桿向下運動h的過程中，整個回路中產生的焦耳熱為

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

．
（3）磁感應強度B隨時間t變化的關系式為B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

．

點評：考查法拉第電磁感應定律、左手定則、平衡方程、能量守恒定律等規律的應用，強調受力分析的正確性，同時突出克服安培力所做的功等于產生的焦耳熱．