Question

如圖所示，固定于水平面的U型金屬導軌abcd，電阻不計，導軌間距L=1.0m，左端接有電阻R=2Ω．金屬桿PQ的質量m=0.2Kg，電阻r=1Ω，與導軌間動摩擦因數μ=0.2，滑動時保持與導軌垂直．在水平面上建立x0y坐標系，x≥0的空間存在豎直向下的磁場，磁感應強度僅隨橫坐標x變化．金屬桿受水平恒力F=2.4N的作用，從坐標原點開始以初速度v₀=1.0m/s向右作勻加速運動，經t₁=0.4s到達x₁=0.8m處，g取10m/s²．
求：
（1）磁感應強度與橫坐標x應滿足的關系；
（2）金屬桿運動到x₁處，PQ兩點間的電勢差；
（3）金屬桿從開始運動到B=

3

2

T處的過程中克服安培力所做的功．

Answer 1

（1）設金屬桿運動的加速度為a，則
由x1=v0t+

1

2

a

t

21

得：a=5m/s²
桿運動到坐標x處的速度為v，則：v2-

v

20

=2ax
桿中產生感應電動勢：E=BLv=BL

v 20 +2ax

桿受到的安培力：FA=BIL=B

E

R+r

L=

B2L2 v 20 +2ax

R+r

由牛頓第二定律得：F-μmg-F_A=ma
即：F-μmg-

B2L2 v 20 +2ax

R+r

=ma
代入數據得：B=

3 1+10x

（2）金屬桿PQ運動到x₁處，速度v₁，磁感應強度B₁
由

v

21

-

v

20

=2ax1得：B₁=1T
此時桿中的電動勢E₁=B₁Lv₁=3V
則PQ兩點的電勢差：U=

R

R+r

E1=2V
（3）當金屬桿運動到B=

3

2

T處，由（1）知對應的坐標為x₂=1.5m，
速度v2=

v 20 +2ax2

=4m/s
設金屬桿PQ從開始運動到B=

3

2

T處的過程中克服安培力做的功為W_A
根據動能定理：Fx2-μmgx2-WA=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

20

代入數據得：W_A=1.5J
答：（1）磁感應強度與橫坐標x應滿足的關系為B=

3 1+10x

；
（2）金屬桿運動到x₁處，PQ兩點間的電勢差為2V；
（3）金屬桿從開始運動到B=

3

2

T處的過程中克服安培力所做的功為1.5J．