Question

2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一號”衛星成功撞擊月球．“嫦娥一號”衛星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，15時36分，衛星啟動發動機開始變軌，然后關閉發動機沿拋物線下落，16時13分10秒成功落在月球的豐富海區域．撞擊產生了高達10km的塵埃層，設塵埃在空中時只受到月球的引力．模擬撞擊實驗顯示，塵埃能獲得的速度可達到衛星撞擊前速度的11%；在衛星變軌過程中，航天飛行控制中心還測得，衛星在離月球表面高176km的圓軌道上運行的周期為T₁=125min，在近月（高度不計）圓軌道上運行的周期T₂=107.8min．計算時取

3

107.8

=4.76．試估算（結果保留兩位有效數字）
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g；
（2）空中塵埃層存在的時間．

Answer 1

分析：（1）衛星繞月圓周運動時，由月球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律對衛星在離月球表面高176km的圓軌道和近月軌道分別列式，聯立可求得R和g．
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運動，根據位移公式和對稱性求空中塵埃層存在的時間．

解答：解：（1）衛星繞月圓周運動時，由月球的萬有引力提供向心力，則有
G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T 2 1

（R+h）①
G

Mm

R2

=m

4π2

T 2 2

R ②
由①、②得

(R+h)3

R3

=

T 2 1

T 2 2

 
解得R=1.7×10⁶m ③
 g=

4π2

T 2 2

R=1.6m/s²④
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運動，因此由H=

1

2

g

t

2 下

 得
  t=2t_下=2

2H g

=2.2×10²s
答：
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g分別為1.7×10⁶m和1.6m/s²；
（2）空中塵埃層存在的時間是2.2×10²s．

點評：對于衛星問題，建立模型，理清解題思路：萬有引力等于向心力是關鍵．