Question

圖示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學家觀測得到A行星的運行軌道半徑為R₀，周期為T₀．

(l)中央恒星O的質最是多大？
(2)長期觀測發現，A行星每隔t₀時間其運行軌道便會偏離理論軌道少許，天文學家認為出現這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運行的圓軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同）．根據上述現象和假設，試估算未知行星月的運動周期和軌道半徑．

Answer 1

(1)  (2)。

：⑴設中央恒星O的質量為M，A行星的質量為m，則由萬有引力定律和牛頓第二定律得     
解得    
⑵由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間相距最近，設B行星的周期為，則有    
解得   
設B行星的運行軌道半徑為，根據開普勒第三定律有    
解得