Question

【題目】彈跳桿運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)廣受歡迎的運(yùn)動(dòng)。某種彈跳桿的結(jié)構(gòu)如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個(gè)套在跳桿上的腳踏板底部。一質(zhì)量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當(dāng)他和跳桿處于豎直靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧的壓縮量為x0。從此刻起小孩做了一系列預(yù)備動(dòng)作，使彈簧達(dá)到最大壓縮量3x0，如圖乙（a）所示；此后他開(kāi)始進(jìn)入正式的運(yùn)動(dòng)階段。在正式運(yùn)動(dòng)階段，小孩先保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達(dá)到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落。跳桿下端觸地(不反彈)的同時(shí)小孩采取動(dòng)作，使彈簧最大壓縮量再次達(dá)到3x0；此后又保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，……，重復(fù)上述過(guò)程。小孩運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。已知跳桿的質(zhì)量為m，重力加速度為g。空氣阻力、彈簧和腳踏板的質(zhì)量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計(jì)。

（1）求彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k，并在圖丙中畫(huà)出該彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖；

（2）借助彈簧彈力的大小F隨彈簧壓縮量x變化的F-x圖像可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求在圖乙所示的過(guò)程中，小孩上升到彈簧原長(zhǎng)時(shí)的速率；

（3）求在圖乙所示的過(guò)程中，彈跳桿下端離地的最大高度。

Answer 1

【答案】（1）k＝

（2）2

（3）

【解析】

（1）小孩處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，根據(jù)平衡條件有：

解得：

圖像如圖：

（說(shuō)明：畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)的直線即可得分）

（2）利用圖像可知，圖線與橫軸所圍的面積大小等于彈簧彈力做功的大小，即彈力做功為，小孩從開(kāi)始到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中小孩和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：

此時(shí)速度為

（3） 彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)小孩迅速抓住跳桿的瞬間，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，小孩和彈跳桿系統(tǒng)動(dòng)量守恒。設(shè)小孩和彈跳桿共同速度為 ，規(guī)定豎直向上方向?yàn)檎�，有�?/span>

小孩和彈跳桿一起豎直上升至最高點(diǎn)，小孩和彈跳桿系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：

綜上所述本題答案是：（1）；（2）；（3）