Question

如圖（甲）所示，小物塊m₁與m₂通過一輕彈簧相連，靜止于固定的光滑水平長木板上，物塊m₁與固定在長木板上的豎直擋板接觸．現將小物塊m₃正對物塊m₁與m₂的方向以初速度v運動，與物塊m₂發生無機械能損失的碰撞．已知物塊m₁與m₂的質量均為m，物塊m₃的質量為m/3，彈簧的勁度系數為k，且下述過程中彈簧形變始終在彈性限度內．

（1）試求在碰后過程中物塊m₃的速度和物塊m₁的最大速度；
（2）若只將長木板右端抬高，變成傾角為θ的固定斜面，如圖（乙）所示，物塊m₁、m₂處于靜止狀態，現讓物塊m₃從長木板上的A點靜止釋放，與物塊m₂相碰后粘合在一起，為使物塊m₂、m₃向上反彈到最大高度時，物塊
m₁對擋板的壓力恰為零，則A點與碰撞前物塊m₂的距離為多大？整個運動過程中彈簧最多比原來增加多少彈性勢能？

Answer 1

【答案】分析：（1）物塊m₃、m₂碰撞，碰撞過程中動量守恒和機械能守恒，列出等式，當物塊m₁的速度最大時，彈簧恢復原長，根據m₁、m₂和彈簧系統動量守恒列出等式求解
（2）物塊m₃和物塊m₂碰撞，動量守恒和機械能守恒，彈簧壓縮最大時，整個運動過程中彈簧增加的彈性勢能最大，此時物塊m₂的速度為零，對物塊m₃和物塊m₂粘合在一起后與彈簧組成的系統，由功能關系求解．
解答：解：（1）設碰撞后物塊m₃的速度為v₁，m₂的速度為v₂
碰撞過程中動量守恒，m₃v=m₃v₁+m₂v₂
又發生無機械能損失的碰撞，
=+
解得：v₁=-v，v₂=v
即物塊m₃的速度大小是v，方向水平向右．
物塊m₁離開擋板時，物塊m₂的速度大小是v，方向向右．
當物塊m₁的速度最大時，彈簧恢復原長，設物塊m₁的最大速度為v_m，此時物塊m₂的速度為v₃，
根據m₁、m₂和彈簧系統動量守恒得
m₂=m₂v₃+m₁v_m
=+
解得：v_m=v
（2）設物塊m₃和物塊m₂碰撞前彈簧壓縮量為x₁，mgsinθ=kx₁，
設物塊m₃開始下滑時離物塊m₂的距離為L，下落到與物塊m₂碰前的速度為v₄，
根據機械能守恒得
m₃gsinθ L=
物塊m₃和物塊m₂碰撞，動量守恒，設碰后物塊速度為v₅
m₃v₄=（m₃+m₂）v₅
當物塊m₂向上反彈到最大高度時，物塊m₁對擋板的壓力恰為零，此時彈簧伸長x₂=x₁．
彈簧的彈性勢能相等，碰撞后整個系統機械能守恒，
（m₃+m₂）=（m₃+m₂）g?2x₂sinθ
解得：L=
彈簧壓縮最大時，整個運動過程中彈簧增加的彈性勢能最大，此時物塊m₂的速度為零，對物塊m₃和物塊m₂粘合在一起后與彈簧組成的系統，
設靜止時彈簧的壓縮量為x₃，所以（m₃+m₂）ginθ=kx₃
由運動的對稱性可知，物塊m₃和物塊m₂整體向下運動的最大距離為s=2x₃
設彈簧最多增加的彈性勢能為△E_pm，對物塊m₃、m₂和彈簧組成的系統，由功能關系得
△E_pm=（m₃+m₂）+（m₃+m₂）g?s?inθ
解得：△E_pm=
答：（1）在碰后過程中物塊m₃的速度和物塊m₁的最大速度是v；
（2）A點與碰撞前物塊m₂的距離為，整個運動過程中彈簧最多比原來增加彈性勢能．
點評：本題主要考查了動量守恒定律及能量守恒定律的應用，能夠知道當彈簧壓縮最大時，其勢能最大．