Question

【題目】如圖所示，在傾斜角為30°的光滑斜面上靜止放置、兩個小球，它們的質量分別為和，它們的半徑分別為和，它們之間用長為的輕繩相連（圖中未畫出），開始時、緊靠在一起并鎖定于斜面上的處，在斜面上的處固定一個開有小孔的擋板，小孔半徑為，間距離為，現解除對小球的鎖定，讓、一起從靜止開始沿斜面下滑，球無阻礙地通過小孔，而球與擋板發生無機械能損失的碰撞，球碰撞后沿斜面向上運動，球仍沿斜面向下運動，輕繩繃緊瞬間（時間極短）兩球達到共同速度，已知兩球半徑遠小于輕繩長度，在計算時將、兩球看做質點，斜面足夠長，兩小球始終在斜面上運動，取，求：

（1）小球、從點由靜止開始一起沿斜面下滑到達擋板時的速度的大小；

（2）若，連接、兩球的輕繩繃緊瞬間，、兩球共同速度的大小和方向；

（3）若，試討論兩球共同速度的方向與值的關系。

Answer 1

【答案】（1）5m/s；（2），方向沿斜面向下；（3）見解析

【解析】

(1)一起下滑時根據動能定理有

代入數據得；

(2)與擋板發生碰撞反彈到繩剛好繃緊，根據受力分析可知兩球的加速度為，則有

這段過程中球的位移

球的位移

又因為

代入數據解得；繩繃緊前瞬間有

繩繃緊過程動量守恒，取斜面向下為正，有

當時解得；故繩繃緊瞬間，、兩球的共同速度的大小為，方向沿斜面向下；

(3)若

由(2)問可得

令，可得，則討論當時，，方向沿斜面向下；當時，；當時，，方向沿斜面向上。