Question

【題目】如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內，半圓形軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點A.一質量為m的小球在水平地面上C點受水平向左的恒力F由靜止開始運動，當運動到A點時撤去恒力F，小球沿豎直半圓形軌道運動到軌道最高點B點，最后又落在水平地面上的D點(圖中未畫出)．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g.

（1）若軌道半徑為R，求小球到達半圓形軌道B點時對軌道的壓力FN；

（2）為使小球能運動到軌道最高點B，求軌道半徑的最大值Rm；

（3）軌道半徑R多大時，小球在水平地面上的落點D到A點距離最大？最大距離xm是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）；

【解析】試題分析：先由動能定理求出小球到達B點時的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．當小球對軌道的壓力恰好為零時，求出軌道半徑的最大值Rm；小球離開B點后做平拋運動，根據高度求出平拋運動的時間，再根據初速度和時間求出平拋運動的水平位移表達式，與第1題中小球經過B點的速度聯立，運用數學知識求解．

（1）設小球到達圓軌道B點時速度為v，從C到B，由動能定理有

解得：

據牛頓第二定律有： ，解得

根據牛頓第三定律可知，小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力為： ，方向豎直向上．

（2）軌道半徑越大，小球到達最高點的速度越小，當小球恰好到達最高點時，軌道對小球的作用力為零，則小球對軌道的壓力也為零，此時軌道半徑最大，則令，解得軌道半徑的最大值
（3）設小球平拋運動的時間為t，在豎直方向上有： ，得

水平位移為

當時，水平位移x最大，得
D到A最大距離為：