Question

如圖是放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，水平直軌AB，半徑分別為R₁=1.0m和R₂=3.0m的弧形軌道，傾斜直軌CD長為L=6m且表面粗糙，動摩擦因數為
μ=

1

6

，其它三部分表面光滑，AB、CD與兩圓形軌道相切．現有甲、乙兩個質量均為m=2kg的小球穿在滑軌上，甲球靜止在B點，乙球從AB的中點E處以v₀=10m/s的初速度水平向左運動．兩球在整個過程中的碰撞均無能量損失且碰撞后速度交換．已知θ=37°，（取
g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）甲球第一次通過O₂的最低點F處時對軌道的壓力
（2）在整個運動過程中，兩球相撞次數
（3）兩球分別通過CD段的總路程．

Answer 1

分析：（1）甲乙兩球在發生碰撞過程由動量守恒和能量守恒列出等式，再根據牛頓第二定律求解
（2）滑環在CD軌道上運動時，由于克服摩擦力做功而減小動能，產生內能；由能量守恒定律可求得通過最點高的次數；
（3）圓環最后只能在DF之間滑動，則由能量守恒定律可求得滑環克服摩擦力做功的總路程．

解答：解：（1）甲乙兩球在發生碰撞過程由動量守恒和能量守恒可得：
mv₀=mv₁+mv₂

1

2

mv

2 0

=

1

2

mv

2 1

+

1

2

mv

2 2

可得：
v₁=0，v₂=v₀或v₁=v₀，v₂=0（舍去）
即交換速度．甲球從B點滑到F點的過程中，根據機械能守恒得：

1

2

mv

2 2

+mg△h=

1

2

mv

2 F

在F點對滑環分析受力，得
F_N-mg=m

v 2 F

R2

由上面二式得：F_N=

500

3

N
根據牛頓第三定律得滑環第一次通過⊙O₂的最低點F處時對軌道的壓力為

500

3

N
（2）由幾何關系可得傾斜直軌CD的傾角為37°，甲球或乙球每通過一次克服摩擦力做功為：
W_克=μmgLcosθ，得
W_克=16J
E_k0=

1

2

mv

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25
分析可得兩球碰撞7次
（3）由題意可知得：滑環最終只能在O₂的D點下方來回晃動，即到達D點速度為零，
由能量守恒得：

1

2

mv

2 0

+mgR₂（1+cosθ）=μmgscosθ
解得：滑環克服摩擦力做功所通過的路程s=78m
分析可得乙3次通過CD段，路程為18m，所以甲的路程為60m
答：（1）甲球第一次通過O₂的最低點F處時對軌道的壓力為

500

3

N
（2）在整個運動過程中，兩球相撞7次
（3）乙通過CD段路程為18m，甲的路程為60m．

點評：本題考查動量守恒、能量守恒及機械能守恒定律的應用，了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，對于多過程我們要分開求解．