Question

如圖是放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成：水平直軌AB，半徑分別為R₁=1.0m和R₂=3.0m的弧形軌道，傾斜直軌CD長為L=6m，AB、CD與兩圓形軌道相切，其中傾斜直軌CD部分表面粗糙，動摩擦因數為μ=

1

6

，其余各部分表面光滑．一質量為m=2kg的滑環（套在滑軌上），從AB的中點E處以v₀=10m/s的初速度水平向右運動．已知θ=37°，（g取10m/s²）求：
（1）滑環第一次通過O₂的最低點F處時對軌道的壓力；
（2）滑環通過O₁最高點A的次數；
（3）滑環克服摩擦力做功所通過的總路程．

Answer 1

分析：（1）從E到F過程中，由機械能守恒可求得F點的速度，再由向心力公式可求得F處軌道的支持力，再由牛頓第三定律可求得滑環對軌道的壓力；
（2）滑環在CD軌道上運動時，由于克服摩擦力做功而減小動能，產生內能；由能量守恒定律可求得通過最點高的次數；
（3）圓環最后只能在DF之間滑動，則由能量守恒定律可求得滑環克服摩擦力做功的總路程．

解答：解：（1）滑環從E點滑到F點的過程中，根據機械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

m vF2①
在F點對滑環分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

…②
由①②式得：FN=

500

3

N…③
根據牛頓第三定律得滑環第一次通過O₂的最低點F處時對軌道的壓力為

500

3

N…④
（2）由幾何關系可得傾斜直軌CD的傾角為37°，每通過一次克服摩擦力做功為：W_克=μmgLcosθ，得W_克=16J…⑤
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25，取6次…⑥
（3）由題意可知得：滑環最終只能在O₂的D點下方來回晃動，即到達D點速度為零，
由能量守恒得：

1

2

mv02+mgR2(1+cosθ)=μmgscosθ…⑦
解得：滑環克服摩擦力做功所通過的路程s=78m…⑧
答：（1）對軌道的壓力為

500

3

N；（2）滑環通這最高點的次數為6次；（3）滑環克服摩擦力做功所通過的路程．

點評：本題考查能量守恒及機械能守恒定律的應用，注意最后若圓環將無法滑上D處，只能在F兩側來回滑動．