Question

如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示交變電壓u，兩板間電場(chǎng)可看作是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)．已知極板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，
不計(jì)重力，忽略粒子間的相互作用力，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的．
（1）試求帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度．
（2）證明任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值，寫出表達(dá)式并求出這個(gè)定值．
（3）從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)偏轉(zhuǎn)的最大位移確定出偏轉(zhuǎn)的最大電壓，從而根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度．
（2）通過(guò)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓心角，從而根據(jù)周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，則有

d

2

=

1

2

?

U1q

dm

（

L

v0

）²
代入數(shù)據(jù)得：U₁=100V
當(dāng)電壓低于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出．粒子從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v₁，則有：

1

2

mv12-

1

2

mv02=q?

U1

2

．
解得：v₁=1.414×10⁵m/s
（2）設(shè)某一粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO′的夾角為θ，
則其速度大小v=

v0

cosθ

軌道半徑R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

，
粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離
s=2Rcosθ=

2mv0

qB

，
可見，任一帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間距為定值
將數(shù)據(jù)代入上式得s=0.4m．
（3）設(shè)粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度方向與OO′的最大夾角為θ，則
tanθ=

d 2

L 2

=1，所以θ=45°．
分析可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tmax=

3

4

T=

3πm

2qB

=9.42×10-6s．
答：（1）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.414×10⁵m/s．
（2）證明如上所示．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為9.42×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑和周期，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍．