Question

一圓環A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對B的長度來說可以忽略不計（可視為質點）．A和B的質量都等于m，A和B之間的滑動摩擦力為f，f＜mg．開始時B豎直放置，下端離地面高度為h，A在B的頂端，如圖所示．讓它們由靜止開始自由下落，當木棒B與地面相碰后，立刻以豎直向上的速度反彈，并且碰撞前后的速度大小相等．設碰撞時間很短，不考慮空氣阻力，求：
（1）B著地時的速度；
（2）木棒B與地面碰撞后，A不脫離B棒，B棒向上運動的最大高度；
（3）在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應該多長？

Answer 1

分析：A和B第一次下降時，都是做自由落體運動，當木棒與地面相碰后，木棒開始向上做勻減速運動，圓環A在摩擦力的作用下，向下做加速運動，分析木棒的運動情況可知，木棒的速度小于圓環A的速度，木棒受到的摩擦力始終向下，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移公式可以計算出木棒的長度．

解答：解：（1）釋放后A和B相對靜止一起做自由落體運動，則有：
v²=2gh   
解得：v=

2gh

                
（2）根據牛頓第二定律得：mg+f=ma_B
v²=2a_BH       
解得：H=

mgh

(mg+f)

              
（3）B再次著地時共用時  t=

2v

aB

對A物體：mg-f=ma_A
在此時間內A的位移Xa=vt+

1

2

a_At²                             
要在B再次著地前A不脫離B，木棒長度L必須滿足條件Xa≤L
解得：L≥

8m2g2h

(mg+f)2

答：（1）B著地時的速度為

2gh

；
（2）木棒B與地面碰撞后，A不脫離B棒，B棒向上運動的最大高度為

mgh

(mg+f)

；
（3）在B再次著地前，要使A不脫離B，B的最小長度為

8m2g2h

(mg+f)2

．

點評：題目涉及到的運動過程較多，要根據物體的受力的情況，逐個分析物體的運動過程，在計算中需要注意的是木棒在上升和再次下降的過程中，它的加速度是一樣的，所以運動的時間也就是相同的．