Question

質量為m的小物塊，用輕彈簧固定在斜面體上，斜面的傾角為θ，輕彈簧的勁度系數為k，如圖所示．整個裝置放在電梯內．
（1）若斜面光滑，電梯靜止時彈簧的伸長量為x．如果電梯豎直向上做勻加速直線運動，彈簧的伸長量為2x．求電梯豎直向上加速運動時的加速度．
（2）若斜面不光滑，斜面與物塊之間的動摩擦因數為μ，彈簧的伸長量也為2x，求此時電梯上升加速度的最大值．（設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等）

Answer 1

分析：（1）電梯靜止不動時，滑塊受重力、支持力和拉力，三力平衡，根據平衡條件列方程；電梯加速上升時，同樣受力分析后根據牛頓第二定律列方程；最后聯立求解即可．
（2）對滑塊受力分析，然后沿著水平方向和豎直方向正交分解各個力，最后根據牛頓第二定律列方程求解．

解答：解：（1）小物塊的受力情況如圖（1）所示．

由胡克定律得：T₁=kx①
重力沿斜面的下滑力F₁=mgsinθ②
沿斜面方向有：kx=mgsinθ③
解得：x=

mgsinθ

k

④
若電梯豎直向上做勻加速直線運動，小物塊受力情況如圖（2）所示，受重力 mg，斜面的支持力N₂以及彈簧的彈力T₂．其中F₂為N₂與T₂合力．
T₂=2kx⑤
T₂=F₂sinθ⑥
由牛頓第二定律得：
F₂-mg=ma₁⑦
聯立④⑤⑥⑦解得：a₁=g
（2）若斜面不光滑，小物塊的受力分析如圖（3）所示，受重力mg，斜面的支持力N₃和摩擦力f，彈簧的彈力，大小仍為T₂．
水平方向上：N₃sinθ=（f+T₂）cosθ⑧
豎直方向上：N₃cosθ+（f+T₂）sinθ-mg=ma₂⑨
加速度最大時，摩擦力為最大靜摩擦力，即f=μN₃⑩
聯立④⑤⑧⑨⑩解得a2=

g(sinθ+μcosθ)

sinθ-μcosθ

答：（1）電梯豎直向上加速運動時的加速度為g；
（2）電梯上升加速度的最大值為

g(sinθ+μcosθ)

sinθ-μcosθ

．

點評：本題關鍵是多次對滑塊受力分析，然后根據共點力平衡條件和牛頓第二定律列方程求解．