Question

【題目】開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等。該定律對一切具有中心天體的引力系統都成立。如圖，嫦娥三號探月衛星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時刻嫦娥三號衛星在A點變軌進入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點著陸。A、O、B三點在一條直線上。求：

（1）月球的密度；

（2）在軌道Ⅱ上運行的時間。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

本題考查中心天體質量和密度的計算及開普勒第三定律的應用。

(1)設月球的質量為M，衛星的質量為m，對衛星受力分析可得

月球的密度

聯立解得：

(2)橢圓軌道的半長軸

設橢圓軌道上運行周期為T1，由開普勒第三定律得

衛星在軌道Ⅱ上運行的時間

聯立解得： 。