Question

【題目】兒童樂園里的彈珠游戲不僅具有娛樂性還可以鍛煉兒童的眼手合一能力。某彈珠游戲可簡化成如圖所示的豎直平面內OABCD透明玻璃管道，管道的半徑較小。為研究方便建立平面直角坐標系，O點為拋物口，下方接一滿足方程yx2的光滑拋物線形狀管道OA；AB、BC是半徑相同的光滑圓弧管道，CD是動摩擦因數μ＝0.8的粗糙直管道；各部分管道在連接處均相切。A、B、C、D的橫坐標分別為xA＝1.20m、xB＝2.00m、xC＝2.65m、xD＝3.40m。已知，彈珠質量m＝100g，直徑略小于管道內徑。E為BC管道的最高點，在D處有一反彈膜能無能量損失的反彈彈珠，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g＝10m/s2，求：

（1）若要使彈珠不與管道OA觸碰，在O點拋射速度ν0應該多大；

（2）若要使彈珠第一次到達E點時對軌道壓力等于彈珠重力的3倍，在O點拋射速度v0應該多大；

（3）游戲設置3次通過E點獲得最高分，若要獲得最高分在O點拋射速度ν0的范圍。

Answer 1

【答案】（1）3m/s（2）2m/s（3）2m/s＜ν0＜2m/s

【解析】

（1）由yx2得：A點坐標（1.20m，0.80m）

由平拋運動規律得：xA＝v0t，yA

代入數據，求得 t＝0.4s，v0＝3m/s；

（2）由速度關系，可得 θ＝53°

求得AB、BC圓弧的半徑 R＝0.5m

OE過程由動能定理得：

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）

解得 v0＝2m/s；

（3）sinα0.5，α＝30°

CD與水平面的夾角也為α＝30°

設3次通過E點的速度最小值為v1．由動能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v1＝2m/s

設3次通過E點的速度最大值為v2．由動能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣4μmgxCDcos30°＝0

解得 v2＝6m/s

考慮2次經過E點后不從O點離開，有

﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v3＝2m/s

故 2m/s＜ν0＜2m/s