Question

如圖，在豎直平面內有一固定光滑軌道，其中AB部分是傾角為37°的直軌道，BCD部分是以O為圓心、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點，D點與O點等高，A點在D點的正下方．質量為m的小球在沿斜面向上的拉力F作用下，從A點由靜止開始做變加速直線運動，到達B點時撤去外力．已知小球剛好能沿圓軌道經過最高點C，然后經過D點落回到A點．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小為g．求
（1）小球在C點的速度的大小；
（2）小球在AB段運動過程，拉力F所做的功；
（3）小球從D點運動到A點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）已知小球剛好能沿圓軌道經過最高點C，由重力完全提供向心力，根據牛頓第二定律求解；
（2）先由幾何關系求出AB的長度．小球從B到C段運動過程，運用機械能守恒列式；從A到B段運動過程，運用動能定理列式，即可求解；
（3）小球從C到D過程，運用機械能守恒列式，求出到達D點的速度大小；從C到A過程，運用機械能守恒列式，求出到達A點的速度大小．小球從D到A過程，由運動學公式求解時間．

解答：解：（1）在C點：由牛頓第二定律得，mg=m

v 2 C

R

解得：v_C=

gR

（2）已知θ=37°外力在AB段所做的功為W，由幾何關系得：AB=

R+Rsinθ

cosθ

=2R
從B到C，根據機械能守恒定律

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg（R+Rcosθ）
從A到B，根據動能定理，
 W-mg2Rsinθ=

1

2

m

v

2 B

聯立解得：W=

7

2

mg
（3）從C到D，根據機械能守恒定律，
 

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 C

+mgR
解得：v_D=

3gR

從C到A，根據機械能守恒定律，

1

2

mv

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg3R
解得：v_A=

7gR

從D到A做勻加速直線運動，根據運動學公式，
 AD=

1

2

(vD+vA)t
解得：t=（

7

-

3

）

R g

答：
（1）小球在C點的速度的大小為

gR

；
（2）小球在AB段運動過程，拉力F所做的功為

7

2

mg；
（3）小球從D點運動到A點所用的時間為（

7

-

3

）

R g

．

點評：本題主要考查了動能定理，運動學基本公式的直接應用，物體恰好通過C點是本題的突破口，這一點要注意把握，難度適中．