Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的小物塊（可視為質點），B為位于水平地面上的質量為M的特殊長平板，

m

M

=

1

10

，平板B與地面間的動摩擦因數μ=0.020．在平板的表面上方，存在一定厚度的“相互作用區域”，如圖中劃虛線的部分，當物塊P進入相互作用區時，B便有豎直向上的恒力F作用于P，已知F=kmg，k=51，F對P的作用剛好使P不與B的上表面接觸；在水平方向上P、B之間沒有相互作用力．已知物塊P開始下落的時刻，平板B向右的速度為v₀=10m/s，P從開始下落到剛到達“相互作用區域”所經歷的時間為t₀=2.0s．設B板足夠長，取重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（2）在這段時間內B所通過的位移的大�。�

Answer 1

分析：（1）物塊P在進入“相互作用區域”之前做自由落體運動，加速度為g，進入“相互作用區域”之后做勻減速直線運動，根據牛頓第二定律求出加速度．根據兩個過程速度的關系求解P從進入“相互作用區域”到離木板最近過程所經歷的時間，根據對稱性求出物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（2）對于B的運動過程分三段；
①在P從開始下落到進入“相互作用區域”的時間t₀內，B物體做勻減速直線運動，由速度公式求出末速度．
②在P進入到離開“相互作用區域”的過程，B物體做勻減速直線運動，求出末速度．
③在P從離開“相互作用區域”到回到初位置的t₀時間內，B做勻減速直線運動，再求出末速度．
根據三個過程的初速度、末速度和時間，由平均速度和時間求出總位移．

解答：解：
（1）對于P，取向下方向為正方向，對于B取水平向右為正方向．
    物塊P在進入“相互作用區域”之前，P、B的加速度分別是a_P=g，a_B=-μg
    物塊P在進入“相互作用區域”之后，P、B的加速度分別是a_P′=

mg-F

m

=-50g，a_B′=-

μ(Mg+F)

M

=-6.1g
設P從進入“相互作用區域”到離木板最近過程所經歷的時間為t，則
   a_Pt₀+a_P′t=0
解得t=0.04s
根據對稱性得到物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間T=2（t₀+t）=4.08s
（2）在P從開始下落到進入“相互作用區域”的時間t₀內，B物體做勻減速直線運動，末速度為v₁=v₀+a_Bt₀=10-0.2×2（m/s）=9.6m/s
    在P進入到離開“相互作用區域”的2t時間內，B仍做勻減速直線運動，速度減到v₂=v₁+2a_Bt=9.5m/s
    在P從離開“相互作用區域”到回到初位置的t0時間內，B做勻減速直線運動，末速度為v₃=v₂+a_Bt₀=9.1m/s
所以在這段時間內B所通過的位移的大小為
    x=

v0+v1

2

t0+

v1+v2

2

?2t+

v2+v3

2

t0=36m．
答：（1）物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間是4.08s；
    （2）在這段時間內B所通過的位移的大小為36m．

點評：本題考查運用牛頓第二定律和運動學公式分析和解決復雜動力學問題的能力，關鍵是分析受力情況和運動情況．