Question

如圖所示，宇航員站在某質量分布均鎂光的星球表面斜坡上，從P點沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面傾角為α，已知星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的第一宇宙速度v；
（3）該星球的密度．

Answer 1

（1）物體落在斜面上有：tanα=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

得：g=

2v0tanα

t

．
（2）根據萬有引力提供向心力得：G

Mm

R2

=m

v2

R

則第一宇宙速度為：v=

GM R

=

gR

=

2v0Rtanα t

．
（3）根據萬有引力等于重力為：G

Mm

R2

=mg，解得星球的質量為：M=

gR2

G

．
而V=

4

3

πR3．
則密度為：ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

=

3v0tanα

2πGtR

．
答：（1）該星球表面的重力加速度為

2v0tanα

t

．
（2）該星球的第一宇宙速度為

2v0Rtanα t

．
（3）該星球的密度為

3v0tanα

2πGtR

．