Question

如圖所示，左側為一個半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點為球心，碗的內表面及碗口光滑．右側是一個固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ=30°．一根不可伸長的不計質量的細繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，線的兩端分別系有可視為質點的小球m₁和m₂，且m₁＞m₂．開始時m₁恰在右端碗口水平直徑A處，m₂在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接兩球的細繩與斜面平行且恰好伸直．當m₁由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時細繩突然斷開，不計細繩斷開瞬間的能量損失．

（1）求小球m₂沿斜面上升的最大距離s；
（2）若已知細繩斷開后小球m₁沿碗的內側上升的最大高度為

R

2

，求

m1

m2

=______．

Answer 1

（1）設重力加速度為g，小球m₁到達最低點B時m₁、m₂速度大小分別為v₁、v₂，
由運動合成與分解得v1=

2

v2①
對m₁、m₂系統由功能關系得
m1gR-m2gh=

1

2

m1v12+

1

2

m2v22②
h=

2

Rsin30°③
設細繩斷后m₂沿斜面上升的距離為s′，對m₂由機械能守恒定律得m2gs′sin30°=

1

2

m2v

22

④
小球m₂沿斜面上升的最大距離s=

2

R+s′⑤
聯立得s=(

2

+

2m1- 2 m2

2m1+m2

)R⑥
（2）對m₁由機械能守恒定律得：

1

2

m1v12=m1g

R

2

⑦
聯立①②③⑦得

m1

m2

=

2 2 +1

2

≈1.9
答：（1）求小球m₂沿斜面上升的最大距離為(

2

+

2m1- 2 m2

2m1+m2

)R；（2）1.9