Question

【題目】如圖，比荷分別為k和2k的甲、乙兩帶正電粒子不計重力，由靜止狀態經相同電壓U加速后從坐標原點O沿x軸的正方向射入勻強磁場區域Ⅰ和勻強磁場區域Ⅱ，經兩磁場后分別打在屏上、兩點未標出。已知Ⅰ、Ⅱ兩磁場是相鄰的矩形區域，區域的寬均為a，區域的邊界平行于y軸，兩磁場的方向均與Oxy坐標平面垂直但方向相反，磁感應強度的大小均為式中U為加速電壓。屏垂直于x軸且到y軸的距離為6a。

求甲、乙兩粒子在磁場Ⅱ中運動的軌跡的半徑之比：

求與兩點間的距離

若使甲、乙兩粒子最終能打到屏上的同一點見圖且方向均沿x軸的正方向，可在磁場Ⅰ、Ⅱ的基礎上再加上若干磁場區。

請在圖中畫出可能的磁場區域所在的位置并在圖中標明磁場的方向

在的情況下，試求甲、乙兩粒子從O點運動到點的時間之比：。

Answer 1

【答案】（1）； （2） ；

（3）①。

②。

【解析】

由動能定理求得粒子速度，再根據洛倫茲力做向心力求得軌道半徑；根據勻速圓周運動和勻速直線運動規律，由幾何關系求得偏移，從而得到兩點間的距離；根據速度方向變化得到磁場類型，在根據偏移量相等得到磁場寬度；根據幾何關系得到粒子在磁場中轉過的中心角，即可根據周期求得在磁場中的運動時間；再根據勻速直線運動規律得到在非磁場區域的運動時間，從而得到兩粒子運動時間之比。

設粒子質量為m，電荷量為q，加速后的速度為v，那么，由動能定理可得：，所以，；

那么，粒子在磁場Ⅱ中運動的速度為v，粒子只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力做向心力，設軌道半徑為R，則有：；

所以，軌道半徑；故，

那么，甲、乙兩粒子在磁場Ⅱ中運動的軌跡的半徑之比；

由根據粒子的軌道半徑，根據粒子在磁場中做勻速圓周運動，離開磁場后做勻速直線運動；

由幾何關系可得：粒子在區域Ⅰ做逆時針旋轉，在區域Ⅱ做順時針旋轉，且轉動角度相同，故粒子離開磁場時的速度方向沿方向；

故粒子打在屏上的縱坐標；

故，，所以，；

由可得：增加兩個方向相反的磁場，磁場寬度相同且都小于軌道半徑時，粒子離開磁場后的方向沿方向；

又有兩粒子軌道半徑不同，那么，每次偏轉位移不等，故要使粒子打在同一位置，那么，后添加的磁場正好把前面磁場產生的偏轉位移抵消；

根據幾何關系可得：要使甲、乙兩粒子最終能打到屏上的同一點且方向均沿x軸的正方向，只能在x軸區間任意位置加上對稱磁場，且沿方向，先向外后向里；

故可能的磁場區域如圖所示：

甲粒子在每個磁場區間轉過的中心角，故在磁場中的運動時間；

甲粒子在非磁場區間運動時間；

乙粒子在每個磁場區間轉過的中心角，故在磁場中的運動時間；

乙粒子在非磁場區間運動時間；

故甲、乙兩粒子從O點運動到點的時間之比；