Question

【題目】如圖所示，長度為L的細繩上端固定在天花板上O點，下端拴著質量為m的小球．當把細繩拉直時，細繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平面上．

（1）當球以角速度ω1=做圓錐擺運動時，細繩的張力FT為多大？水平面受到的壓力FN是多大？

（2）當球以角速度ω2=2做圓錐擺運動時，細繩的張力FT′及水平面受到的壓力FN′各是多大？

Answer 1

【答案】（1）繩子張力FT為mg，桌面受到壓力FN是mg．（2）繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．

【解析】試題分析：（1）當球做圓錐擺運動時，在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．

（2）當小球對桌面恰好無壓力時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解此時小球的角速度．根據角速度ω2=與臨界角速度的關系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運動，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解：（1）對小球受力分析，作出力圖如圖1．球在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，則

根據牛頓第二定律，得

水平方向有：FTsin60°=mω12Lsin60°①

豎直方向有：FN′+FTcos60°﹣mg="0" ②

又ω1=

解得 FT=mg，FN′=

根據牛頓第三定律得知水平面受到的壓力FN=FN′=．

（2）設小球對桌面恰好無壓力時角速度為ω0，即FN′=0

代入①②解得，ω0=

由于ω2=＞ω0，故小球離開桌面做勻速圓周運動，則此時小球的受力如圖2．設繩子與豎直方向的夾角為α，則有

mgtanθ=mω22lsinα ③

mg=FT′cosα ④

聯立解得 FT′=4mg

答：

（1）當球以ω1=做圓錐擺運動時，繩子張力FT為mg，桌面受到壓力FN是．

（2）當球以角速度ω2=做圓錐擺運動時，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．