Question

如圖所示，半徑為R的光滑圓軌道豎直放置，長為2R的輕質桿兩端各固定一個可視為質點的小球A、B，把輕桿水平放入圓形軌道內，若m，2m，m₀，m，重力加速度為g，現由靜止釋放兩球，當輕桿到達豎直位置時，求：
（1）A、B兩球的速度大小；
（2）A球對軌道的壓力；
（3）要使輕桿到達豎直位置時，輕桿上剛好無彈力，A、B兩球的質量應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）兩球運動的速度相等；而小球在運動過程中機械能守恒，由機械能守恒定律可求得兩球的速度大小；
（2）小球做圓周運動，由合外力充當向心力，由牛頓第二定律可求得A球對軌道的壓力；
（3）若要使輕桿上剛好沒有壓力，則重力恰好充當向心力，再由機械能守恒定律可求得AB兩球的質量關系．

解答：解：
（1）設桿運動到豎直位置時，A、B兩球的速度均為v₁ 
對AB系統機械能守恒：m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A+m_B）v₁²
解得：v₁=

2 3 gR

    
（2）在豎直位置時，設桿對B球的強力為F_NB，軌道對A球的彈力為F_NA
對B球 m_Bg+F_ND=m_B

v 2 1

R

  
F_ND=

1

3

mg
∴桿對B球有向上的支持力，對A球有向下壓力
對A球：F_NA-m_Ag-

1

2

mg=m_A

v 2 1

R

解得：F_NA=

11

3

mg
由牛頓第三定律，知A球對軌道的壓力為F_N=

11

3

mg
（2）要使輕桿到達豎直位置時，桿上恰好無彈力作用B球需滿足
m_Bg=m_B

v 2 2

R

對AB系統機械能守恒 m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A-m_B）v₂²
解得m_A=3m_B；
答：（1）兩球速度均為

2 3 gR

；（2）A球對軌道的壓力為

11

3

mg；（3）AB兩球的質量關系為m_A=3m_B．

點評：本題考查機械能守恒定律及牛頓第二定律的應用，要明確兩球的速度大小相等．