Question

（2010?上海模擬）密度大于液體密度的固體顆粒，在液體中豎直下沉，但隨著下沉速度變大，固體所受的阻力也變大，故下沉到一定深度后，固體顆粒就會勻速下沉．該實驗是研究球形固體顆粒在水中豎直勻速下沉的速度與哪些量有關的實驗，實驗數據的記錄如下表：（水的密度為ρ₀=1.0×10³kg/m³）

次序	固體球的半徑r（m）	固體的密度ρ（kg/m3）	勻速下沉的速度v（m/s）
1	0.5×10-3	2.0×103	0.55
2	1.0×10-3	2.0×103	2.20
3	1.5×10-3	2.0×103	4.95
4	0.5×10-3	3.0×103	1.10
5	1.0×10-3	3.0×103	4.40
6	0.5×10-3	4.0×103	1.65
7	1.0×10-3	4.0×103	6.60

（1）我們假定下沉速度=v與重力加速度g成正比，根據以上實驗數據，你可以推得球形固體在水中勻速下沉的速度v還與

ρ、r

有關，其關系式是

v=kgr²（ρ-ρ₀）

．（比例系數可用k表示）
（2）對勻速下沉的固體球作受力分析，固體球受到浮力（浮力大小等于排開液體的重力）、重力（球體積公式V=

4πr3

3

計算）、勻速下沉時球受到的阻力f．可寫出f與v及r的關系式為

f=

4πrv

3k

．（分析和推導過程不必寫）

Answer 1

分析：球形固體在水中勻速下沉的速度與固體球的半徑和密度均有關系，我們可以采用控制變量法來確定另一物理量與速度的關系，最終得出速度與固體球的半徑與密度的確切關系；
求固體球在水中最后在勻速直線運動，受力平衡，其受重力、浮力以及水的阻力，三力平衡解出阻力與速度及半徑的關系．

解答：解：（1）從表格中次序為1、2、3或4、5或6、7的各行中可以看出，固體顆粒密度相同，固體球的半徑r越大則勻速下沉的速度v越大，即勻速下沉的速度與固體顆粒的半徑有關，
從表格中的1、4、6或2、5、7各行可以看出固體球的半徑r相同，固體的密度ρ越大則勻速下沉的速度v越大，即即勻速下沉的速度與固體顆粒的密度有關．
設球形固體顆粒的半徑為r，密度為ρ，在水中勻速下降的速度為v．由題意知v∝g．由控制變量法容易得出：當ρ一定時，比如：從表格中次序為1、2、3或4、5或6、7的各行可以得出結論：v∝r²．
但是表格中的1、4、6或2、5、7各行，當r一定時v和ρ的關系難以立即判斷．因此需要換個角度考慮．我們可以觀察，當r一定時，在每個ρ值后都減去1.0×10³kg/m³（即水的密度）得到的數值與v成正比．即：
v∝（ρ-ρ₀），則：v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）勻速下沉時，由平衡條件可知重力等于固體球所受的浮力加球所受的阻力，所以：mg=ρ₀

4πr3

3

g+f，
把固體球的質量 m=ρ

4πr3

3

代入上式，結合v=kgr²（ρ-ρ₀），
解得：f=

4πrv

3k

故答案為：（1）ρ、r，v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）f=

4πrv

3k

點評：此題實驗中判斷速度與各物理量間的關系時因為有兩個變量，所以我們應當用控制變量法來判斷速度與另一物理量的關系．