Question

長為L的輕繩一端固定在O點，另一端栓一質量為m的小球，將小球拉到最高點A點，以v₀=(

gL

2

)

1

2

的水平速度推出，求小球經過最低點時繩子的拉力大小？（分別用動能定理和機械能守恒定律兩種方法解題）

Answer 1

根據mg=m

vmin

L2

，則在最高點做圓周運動的最小速度vmin=

gL

．
v₀＜v_min，所以小球先做平拋運動，繩子拉直后做圓周運動．
設小球做平拋運動水平位移為x時，繩子拉直．
則平拋運動的時間t=

x

v0

，平拋運動的豎直位移y=

1

2

gt2=

1

2

g

x2

v02

，
根據勾股定理，有x²+（L-y）²=L²，
將v0=

gL 2

代入，
解得x=L．
知平拋運動的末位置正好與圓心在同一水平線上．
此時豎直分速度vy=

2gL

．
水平分速度不變，將水平分速度和豎直分速度沿半徑方向和垂直于半徑方向分解，
由于繩子繃緊，沿半徑方向的速度立即消失，只剩下垂直于半徑方向的速度，
此時的速度v=vy=

2gL

．
方法一：根據動能定理得，mgL=

1

2

mv′2-

1

2

mv2，解得v′²=4gL
根據牛頓第二定律得，F-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
方法二：根據機械能守恒定律，

1

2

mv 2+mgL=

1

2

mv′2
解得v′²=4gL
根據牛頓第二定律得，F-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
故小球經過最低點時繩子的拉力大小為5mg．