Question

如圖所示，一質量不計的輕質彈簧豎立在地面上，彈簧的上端與盒子A連接在一起，下端固定在地面上．盒子內裝一個光滑小球，盒子內腔為正方體，一直徑略小于此正方體邊長的金屬圓球B恰好能放在盒內，已知彈簧的勁度系數k=400N/m，A和B的質量均為m=2kg，將A向上提高使彈簧從自由長度開始伸長x₁=10cm后，從靜止釋放，不計空氣阻力，A和B一起做豎直方向的簡諧運動．取g=10m/s²．已知彈簧處在彈性限度內，對于同一彈簧，其彈性勢能只決定于其形變的大小．試求：
（1）在平衡位置時彈簧的壓縮量x₂和盒子A的振幅A；
（2）盒子A運動到最高點時，A對B的作用力方向（不要求寫出判斷的理由）；
（3）小球B的最大速度V_m．

Answer 1

分析：（1）振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離．當盒子A和金屬圓球B所受合力為零時，盒子經過平衡位置，由平衡條件和胡克定律求出此時彈簧壓縮的長度．
（2）振子在最高點時速度為零，加速度最大，分析AB運動情況答題．
（3）當盒子運動到平衡位置時，球B的速度最大，根據機械能守恒定律求解金屬圓球B的最大速度．

解答：解：（1）系統處于平衡位置時，彈簧壓縮x₂，
A、B處于平衡狀態，由平衡條件得：2mg=kx₂，
解得，x₂=

2mg

k

=

2×2×10

400

=0.1m；?
盒子的振幅為：H=x₁+x₂=0.10 m+0.10 m=0.20m；
（2）在最高點，A與B的速度為零，加速度最大，B的重力與A對B的彈力提供B做簡諧運動的回復力，A對B的作用力向下．?
（3）小球B運動到平衡位置時速度最大，
從最高點到平衡位置的過程中，彈力做的正功與負功相等，總功為零，
由動能定理，得?2mgA+0+△E_k=

1

2

?2m?v_m²，?
解得：v_m

2gA

m/s=2 m/s．?
答：（1）盒子A做簡諧運動的振幅為0.20 m；?
（2）盒子A運動到最高點時，盒子A對金屬小球B的作用力方向向下；
（3）金屬小球B的最大速度為2m/s．?

點評：對于簡諧運動的振幅，往往根據定義去分析求解．本題的技巧在于運用簡諧運動的對稱性．中等難度．