Question

如圖，兩條互相平行且足夠長的光滑金屬導軌位于水平面內，導軌間距l=0.2m，在導軌的
一端接有阻值R=3Ω的電阻，在x≥0處有一垂直水平面向下的勻強磁場，磁感強度B=0.5T．一質
量m=0.1kg，電阻r=2Ω的金屬棒垂直擱在導軌上，并以v₀=20m/s的初速度進入磁場，在水平拉
力F的作用下作持續的勻變速直線運動，加速度大小a=2m/s²、方向與初速度方向相反．棒與導軌
接觸良好，其余電阻均不計．求：
（1）第一次電流為零時金屬棒所處的位置；
（2）電流為最大值的一半時拉力F的大小及其功率；
（3）金屬棒開始進入磁場到速度減小為零的過程中，電阻R上產生的熱量為1.6J，求該過程中拉力F所做的功．

Answer 1

分析：（1）根據E=BLv，I=

E

R

=

BLv

R

，電流與速度成正比，當電流第一次為零時，金屬棒的速度為零，根據運動學公式求解位移；
（2）金屬棒剛開始運動時，回路中電流最大，根據I=

BLv

R

，求出電流為最大值的一半時金屬棒的速度，由F=BIL求出安培力大小，根據牛頓第二定律求出拉力F，再求解其功率．速度方向要分向左和向右兩種情況研究．
（3）根據動能定理求解拉力做功．回路中產生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做功．

解答：解：（1）由E=BLv，I=

E

R

=

BLv

R

，可知
若I=0，則v=0          
故第一次電流為零時金屬棒通過的位移為x=

v 2 0

2a

=

202

2×2

m=100m                     
（2）金屬棒剛開始運動時，回路中電流最大，最大電流為 I_m=

BLv0

R

若I=

1

2

I_m，則速度v=

v0

2

=10m/s
則金屬棒所受的安培力為 F_A=BIL=

B2L2v

R

=

B2L2v0

2R

可知F_A=0.02N              
討論：①若棒向左運動，有
   F₁+F_A=ma，
故F₁=0.18N，功率P₁=F₁v=1.8W．
②若棒向右運動，有
  F₂-F_A=ma，
故F₂=0.22N，功率P₂=F₂v=2.2W．
（3）設金屬棒克服安培力做功為W_A，拉力做功為W_F．
金屬棒開始進入磁場到速度減小為零的過程中，電阻R上產生的熱量為Q_R=1.6J，金屬棒產生的熱量為Q_r=

r

R

Q_R，則回路中產生的總熱量為Q=Q_R+Q_r=

R+r

R

Q_R=

8

3

J
根據功能關系知，回路中產生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做功．則得W_A=Q=

8

3

J
由動能定理得：W_F-W_A=0-

1

2

m

v

2 0

解得，W_F≈-17.3J
答：（1）第一次電流為零時金屬棒所處的位置距O點100m；
（2）電流為最大值的一半時拉力F的大小為0.18N，其功率為1.8W或0.22N，2.2W．
（3）該過程中拉力F所做的功為-17.3J．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，安培力是聯系這兩部分的橋梁．解題時，分析問題要全面，不能漏解．