Question

（2007?茂名二模）如圖（甲）所示，M、N為豎直放置、彼此平行的兩塊平板，兩板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖（乙）所示．有一正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場，已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T₀．不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計(jì)正離子所受重力．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大�。�
（2）若射入磁場時(shí)速度v0=

4πd

5T0

，正離子能否從O′點(diǎn)射出？若不能，它將打到N板上離O′點(diǎn)多遠(yuǎn)處？
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)速度v₀應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）離子在洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，可確定磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（2）根據(jù)半徑公式與幾何關(guān)系，從而求出打到N板上離O′點(diǎn)的距離；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，正離子在兩板之間可運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT₀，由v0=

4πd

5T0

可知，射入磁場時(shí)速度大小．

解答：解：（1）正離子射入磁場，洛侖茲力提供向心力
根據(jù)牛頓第二定律，則有：B0qv0=m

v 2 0

R

①
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，T0=

2πR

v0

②
聯(lián)立①②兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=

2πm

qT0

③
（2）聯(lián)立①、③并將v0=

4πd

5T0

代入得：
R=0.4d       ④
正離子在MN間的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．將打到圖中的B點(diǎn)，
由圖中可知，∠ABC=30°
故BO′間的距離為：L=R+Rcos300=(1+

3

2

)R=

2(1+ 3)

5

d⑤
（3）要使正離子從O’孔垂直于N板射出磁場，v₀的方向應(yīng)如圖所示，正離子在兩板之間可運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT₀，
則d=4nR   （n=1、2、3…）  ⑥
聯(lián)立①、⑥式得v0=

B0qR

m

=

πd

2nT0

（n=1、2、3…）
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小

2πm

qT0

；
（2）若射入磁場時(shí)速度v0=

4πd

5T0

，正離子不能從O′點(diǎn)射出，它將打到N板上離O′點(diǎn)

2(1+ 3 )

5

d遠(yuǎn)處；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)速度v₀應(yīng)為

πd

2nT0

（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評：考查離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律在其應(yīng)用，并掌握幾何關(guān)系的重要性，特別畫出正確的運(yùn)動(dòng)的軌跡．同時(shí)運(yùn)用離子在兩板間運(yùn)動(dòng)的周期性．