Question

（2008?浙江模擬）如圖所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面斜向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m，電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，電路中R₂為一電阻箱，已知燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=12R，重力加速度為g，閉合開(kāi)關(guān)S，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，求：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當(dāng)金屬棒下滑距離為s₀時(shí)速度恰好達(dá)到最大，則金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的阻值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，重力和安培力對(duì)棒做功，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出整個(gè)電路中產(chǎn)生的總電熱．
（3）金屬棒勻速下滑時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件得到通過(guò)ab棒的電流，根據(jù)歐姆定律得到通過(guò)R₂的電流，由公式P2=

I

2 2

R2得到功率與電阻的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，并確定出條件．

解答：解：（1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，達(dá)到最大時(shí)有
    mgsinα=F_安…①
又  F_安=BIL…②
   I=

BLvm

R總

…③
其中R_總=R+R₁+

R2RL

R2+RL

=6R…④
聯(lián)立①-④式得金屬棒下滑的最大速度vm=

3mgR

B2L2

…⑤
（2）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒得：
   mgsin2sB=Q+

1

2

m

v

2 m

  ⑥
再將⑤式代入上式得Q=mgs0-

9m3g2R2

2B4L4

 
（3）金屬棒勻速下滑時(shí)
  mgsinα=BIL
則得 I=

mgsinα

BL

…⑦
R₂消耗的功率P2=

I

2 2

R2…⑧
由分流原理得：通過(guò)電阻箱R₂的I₂=

RL

R2+RL

I=

4R

R2+4R

I…⑨
聯(lián)立⑦～⑨式得P2=( 
則得 P2=

16R2R2

R 2 2 +8RR2+16R2

(

mgsinα

BL

)2
  P2=

16R

R2+8R+ 16R2 R2

(

mgsinα

BL

)2
當(dāng)R2=

16R2

R2

，即R₂=4R時(shí)，R₂消耗的功率最大
故R₂消耗的最大功率為：P2=

m2g2R

4B2L2

答：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m是

3mgR

B2L2

．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱是mgs₀-

9m3g2R2

2B4L4

；
（3）改變電阻箱R₂的阻值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為

m2g2R

4B2L2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)，第3問(wèn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求極值，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高．