Question

如圖所示，AB是足夠長的傾角為θ傾斜直軌道，BCD是半徑為R的光滑圓弧軌道，它們在B點相切．P點與圓弧的圓心O等高，D、E與O點在同一條豎直直徑上．一個質量為m的物體（可以看作質點）從AB軌道上的某點由靜止釋放．
（1）若軌道AB光滑，為使物體能到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L至少應為多少；
（2）若軌道AB動摩擦因數為μ，物體從P點釋放，則它在整個運動過程中在AB軌道上運動的總路程s為多少；
（3）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力的大小．

Answer 1

（1）設物體剛好到D點，由牛頓第二定律求得則mg=

m v 2D

R

對全過程由動能定理得：mgLsinθ-mgR（1+cosθ）=

1

2

mv

2D

得：L=

3+2cosθ

2sinθ

R；
（2）因為摩擦力始終對物體做負功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復運動．
對整個過程由動能定理得：mgR?cosθ-μmgcosθ?s=0所以總路程為s=

R

μ

（3）從B到E的過程中由動能定理求得
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv

2E

在E點由牛頓第二定律
N-mg=

mv 2E

R

由牛頓第三定律，物體對軌道的壓力N′=N
得對軌道壓力：N′=（3-2cosθ）mg
答：（1）若軌道AB光滑，為使物體能到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L至少應為

3+2cosθ

2sinθ

R；
（2）若軌道AB動摩擦因數為μ，物體從P點釋放，則它在整個運動過程中在AB軌道上運動的總路程s為

R

μ

；
（3）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力的大小為（3-2cosθ）mg