Question

（2013?淮安模擬）如圖所示，傾角為37°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相連，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點(diǎn)等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，恰能滑到與O等高的D點(diǎn)，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）若使滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，求滑塊從A點(diǎn)沿斜面滑下時(shí)的初速度v₀的最小值．
（3）若滑塊離開(kāi)C處的速度大小為4m/s，求滑塊從C點(diǎn)飛出至落到斜面上的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）由題，滑塊恰能滑到與O等高的D點(diǎn)，速度為零，對(duì)A到D過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式可求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）滑塊恰好能到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可得到C點(diǎn)的速度范圍，再對(duì)A到C過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求初速度v₀的最小值．
（3）離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何知識(shí)結(jié)合求時(shí)間．

解答：解：（1）滑塊由A到D過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
   mg（2R-R）-μmgcos37°?

2R

sin37°

=0-0
得 μ=

1

2

tan37°=0.375
（2）若滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律　有 mg+FN=

m v 2 c

R

則得  vc≥

Rg

=2m/s
A到C的過(guò)程：根據(jù)動(dòng)能定理　有-μmgcos37°?

2R

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 0

聯(lián)立解得，v₀=

v 2 C +2gR

≥2

3

m/s
所以初速度v₀的最小值為2

3

m/s．
（3）滑塊離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
   x=v_ct
   y=

1

2

gt2
由幾何關(guān)系得：tan37°=

2R-y

x

聯(lián)立得  5t²+3t-0.8=0
解得　t=0.2s
答：
（1）滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.375．
（2）若使滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，滑塊從A點(diǎn)沿斜面滑下時(shí)的初速度v₀的最小值為2

3

m/s．
（3）若滑塊離開(kāi)C處的速度大小為4m/s，滑塊從C點(diǎn)飛出至落到斜面上的時(shí)間t是0.2s．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與向心力、平拋運(yùn)動(dòng)及幾何知識(shí)的綜合，要注意挖掘隱含的臨界條件，運(yùn)用幾何知識(shí)求解．