Question

【題目】2016年9月，G20峰會在杭州隆重召開，其會議廳的裝飾設計既展示出中國建筑的節能環保理念，又體現了浙江的竹文化特色。圖a給出了其部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部放大照片，該裝飾同時又實現了對聲波的共振吸收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長方形微孔，聲波進入微孔后導致微孔中的空氣柱做簡諧振動.單個微孔和竹板后的空氣層，可簡化成一個亥姆霍茲共振器，如圖b所示.假設微孔深度均為l、單個微孔后的空氣腔體體積均為、微孔橫截面積記為S.聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過程，聲波傳播速度與空氣密度及體積彈性模量的關系為，其中是氣體壓強的增加量與其體積V相對變化量之比，已知標準狀態(273K，latm=1.01×105Pa)下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質量Mmol=29.0g/mol，熱容比，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).

(1)求標準狀態下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度；

(2)求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率(用、S、I、V0表示)；

(3)為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應的兩種微孔橫截面積之比應為多少?

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)由理想氣體狀態方程有

(1)

式中，P、V和T分別為空氣的壓強、體積和(絕對)溫度，M和Mmol分別為空氣總質量和；摩爾質量。由(1)式得空氣密度為

在標準狀態下(以下標“標”表示)有，

(2)

理想氣體的絕熱過程滿足

=常量

式中γ是熱容比。對上式兩邊微分得

(3)

由(3)式可得，空氣的體積彈性模量為

(4)

聲波在空氣中的傳播速度為

在標準狀態下有

(5)

(2)細管內的空氣柱的質量為

(6)

細管中的空氣柱的運動是由外界壓力與容器內的壓力之差所引起的.設這部分空氣柱運動的位移為x(向外為正)，容器內的空氣體積的改變為

(7)

容器內氣體壓力的變化滿足絕熱過程，由(3)式有

(8)

相應地，對于細管內運動著的空氣柱的作用力為

(9)

從而，細管內空氣柱的運動方程可寫為

(10)

(10)式可寫成

(11)

這是簡諧振動的方程，o是簡諧振動的圓頻率

(12)

將代入(10)式得，所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率為

(13)

上式最后一步利用了單個微孔后的空氣腔體體積為.

(3)按題設，兩種需要通過所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率和之比為

(14)

由(13)式可得

， (15)

式中，S1和S2是相應的上述亥姆霍茲共振器的微孔的橫截面積.由(15)式有

(16)

即

(17)