Question

如圖所示，兩個水平放置的帶電平行金屬板的勻強電場中，一長為 L 的絕緣細線一端固定在 O點，另端栓著一個質量為 m，帶有一定電量的小球，小球原來靜止，當給小球某一沖量后，它可繞 O 點在豎直平面內作勻速圓周運動。若兩板間電壓增大為原來的 4 倍時，求：
（1）要使小球從 C 點開始在豎直平面內作圓周運動，開始至少要給小球多大沖量？
（2）在運動過程中細線所受的最大拉力。

Answer 1

（1）
（2）T = 18 mg

對本題的物理情景不難想象：一繩系帶電小球在兩板間原來的電場中作勻速圓周運動。后來兩板間電壓升高為4倍，小球仍在豎直面內作圓周運動。但這兩情況下相應的物理條件是不同的，必須注意正確地把它們轉化為具體的物理條件。
（1）設原來兩極板間電壓為U，間距為 d ，小球電量為 q，因小球開始能在電場中作勻速圓周運動，故小球所受電場力向上，并且和重力相等，所以小球帶正電，且滿足
qU/d = mg…………①，
當兩板間電壓增到 4U時，設需在 C 點給小球的沖量為 I才能使其在豎直平面內做圓周運動，并且 C 點就是小球做圓周運動的等效最高點，(即臨界點)在等效最高點處小球的線速度最小，小球所受新的電場力與重力的合力恰好滿足在該處作圓周運動的向心力，此時細線對小球的拉力為零(這是等效最高點的特點)。
即：
…………②，
∴ ，………③。
（2）小球在最高點 D時就是小球做圓周運動的等效最低點，小球在等效最低點處的線速度最大，所以細線L所受拉力最大，設拉力為T ，由牛頓第二定律，有：
 …………④，
小球C點運動到D點過程中，重力和電場力做功，根據(jù)動能定理，有：
…………⑤，
由②式得小球在等效最低點處的線速度 …………⑥，
將⑥式代入④式，得 T = 18 mg。