Question

【題目】（20分）如圖所示，豎直放置的質量為4m,，長為L的圓管頂端塞有一個質量為m的彈性圓球，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg.圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等。試求：

(1)圓管彈起后圓球不致滑落，L應滿足什么條件；

(2)圓管上升的最大高度是多少；

(3)圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應滿足什么條件。

Answer 1

【答案】（1）；（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）取豎直向下為正方向，則：球與管第一次碰地前的瞬時速度(2分)

碰地后瞬間，管的速度，球的速度。球相對管的速度

碰后，管受重力作用及向下的摩擦力作用，加速度a管 = 2g ；球受重力和向上的摩擦力作用，加速度a球 =－3g 。球相對管的加速度a相 =－5g

以管為參考系，則球與管相對靜止前，球相對管下滑的距離為：（2分）

要使球不滑出圓管，應滿足：（2分）

（2）設管從碰地到它彈到最高點所需時間為t1（設球與管這段時間內摩擦力方向不變），則：

（2分）

設管從碰地到與球相對靜止所需的時間為t2，則： （2分）

因為t1＞t2，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升到最高點。設球和管達相對靜止時的高度為，共同速度為，則： (2分)

（2分）

此后，球和管以初速度豎直上拋。設再上升的高度為，則： （2分）

因此，管上升的最大高度 （2分）

（3）當球與管第二次共同下落時，離地高度為，球距管頂.類比第（1）問可解出兩者在第二次反彈中發生的相對位移：（2分）

則當時，球不會滑出管外，即：（2分）