Question

（2009?安徽模擬）如圖所示，平行導軌豎直放置，上端用導線相連，中間跨接的金屬棒與導軌組成閉合回路．水平虛線L₁、L₂ 之間存在垂直導軌所在平面向里的磁場，磁感應強度的變化規(guī)律是B²=B₀²（1+ky），其中B₀和k 為已知量，y 為磁場中任一位置到L₁的距離．金屬棒從L₂處以某一速度向上運動進人磁場，經過L₁時其速度為剛進人磁場時速度的一半，返回時正好勻速穿過磁場．已知金屬棒在導軌上滑動時所受的摩擦力和重力之比為5：13，重力加速度為g，導軌上單位長度的阻值是恒定的，其余的電阻不計．求：
（1）L_l到導軌上端的距離
（2）金屬棒向上運動進人磁場的初速度與向下運動進人磁場的速度之比．
（3）金屬棒向上剛進人磁場的加速度的大小．

Answer 1

分析：1、設導軌間的距離為L，導軌單位長度的阻值為λ，L₁位置到導軌上端的距離為x，磁場的高度為h₁，金屬棒以v₀向上進入磁場，離開磁場后上升的最大高度為h₂，向下進入磁場后的速度為v．金屬棒在磁場中向下運動時所受的安培力為：F安=BIL=

B2L2v

2λ(x+y)

=

B02L2v(1+ky)

2λx(1+ y x )

，要使F_安不隨y的改變而改變，必須有k=

1

x

．
2、根據速度和位移的關系公式，列出金屬棒離開磁場后的上升階段的方程(

v0

2

)2=2a上h2和金屬棒進入磁場前的下落階段的方程v²=2a_下h₂，兩式相比可解出速度之比．
3、分別列出金屬棒向上和向下經過L₁位置時所受的安培力，相比求出其關系，金屬棒向下進入磁場做勻速運動，其安培力F_下=mg-f，金屬棒向上進入磁場時的加速度大小a=

mg+f+3(mg-f)

m

，化簡計算即可．

解答：解：設導軌間的距離為L，導軌單位長度的阻值為λ，L₁位置到導軌上端的距離為x，
磁場的高度為h₁，金屬棒以v₀向上進入磁場，離開磁場后上升的最大高度為h₂，
向下進入磁場后的速度為v．
（1）金屬棒在磁場中向下運動時所受的安培力為：
F安=BIL=

B2L2v

2λ(x+y)

=

B02L2v(1+ky)

2λx(1+ y x )

要使F_安不隨y的改變而改變，必須有k=

1

x

，即x=

1

k

．
（2）金屬棒離開磁場后的上升階段有：(

v0

2

)2=2a上h2
金屬棒進入磁場前的下落階段有：v²=2a_下h₂

( v0 2 )2

v2

=

a上

a下

=

mg+f

mg-f

=

9

4

得：

v0

v

=

3

1

（3）金屬棒向上和向下經過L₁位置時所受安培力之比為：

F上

F下

=

B2L2v0 R

B2L2v R

=

v0

v

=

3

1

金屬棒向下進入磁場做勻速運動，其安培力F_下=mg-f
金屬棒向上進入磁場時的加速度大小為：
a=

mg+f+3(mg-f)

m

=

42

13

g
答：（1）L_l到導軌上端的距離為x=

1

k

；
（2）金屬棒向上運動進人磁場的初速度與向下運動進人磁場的速度之比

v0

v

=

3

1

；
（3）金屬棒向上剛進人磁場的加速度的大小為

42

13

g．

點評：本題的難點是求解金屬棒在磁場中向下運動時所受的安培力，根據安培力的定義式F_安=BIL，代入數據計算得到表達式，根據表達式討論要使F_安不隨y的改變而改變的情形．本題有一定的難度，屬于難題．