Question

【題目】如圖所示，傾角30°的光滑斜面上，輕質彈簧兩端連接著兩個質量均為的物塊和，緊靠著擋板，通過輕質細繩跨過光滑定滑輪與質量的物塊連接，細繩平行于斜面，在外力作用下靜止在圓心角為60°、半徑的的光滑圓弧軌

道的頂端處，此時繩子恰好拉直且無張力；圓弧軌道最低端與粗糙水平軌道相切，與一個半徑的光滑圓軌道平滑連接。由靜止釋放，當滑至時，恰好離開擋板，此時繩子斷裂。已知與間的動摩擦因數，重力加速度取，彈簧的形變始終在彈性限度內，細繩不可伸長。

（1）求彈簧的勁度系數；

（2）求物塊滑至處，繩子斷后瞬間，對圓軌道的壓力大小；

（3）為了讓物塊能進入圓軌道且不脫軌，則間的距離應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）；（2）144N；（3）①第一種情況,不超過圓軌道上與圓心的等高點，6m x8m；②第二種情況,過圓軌道最高點，x3m

【解析】(１)A 位于a 處時,繩無張力且物塊B 靜止,故彈簧處于壓縮狀態(tài)

對B 由平衡條件有kx＝mgsin30° (1分)

當C 恰好離開擋板P 時,C 的加速度為０,故彈簧處于拉升狀態(tài)

對C 由平衡條件有kx′＝ mgsin30° (1分)

由幾何關系知R＝x＋x′ (2分)

代入數據解得 (1分)

(２)物塊A 在a 處與在b 處時,彈簧的形變量相同,彈性勢能相同. 故 A 在a 處與在b

處時,A、B 系統的機械能相等

有 (1分)

如圖所示,將A 在b 處的速度分解,由速度分解關系有vAcos30°＝vB (1分)

代入數據解得 (1分)

在b 處,對A 由牛頓定律有 (1分)

代入數據解得

由牛頓第三定律,A 對圓軌道的壓力大小為N′＝144N (1分)

(３)物塊A 不脫離圓形軌道有兩種情況

①第一種情況,不超過圓軌道上與圓心的等高點

由動能定理,恰能進入圓軌道時需滿足條件 (1分)

恰能到圓心等高處時需滿足條件 (1分)

代入數據解得

即:6m x8m (1分)

②第二種情況,過圓軌道最高點

在最高點,由牛頓定律有

恰能過最高點時,N ＝0, (1分)

由動能定理有 (1分)

代入數據解得

所以x3m (1分)