Question

（2005?廣東）已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球與地球間距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球的運轉周期T₁，地球自轉周期
T₂，地球表面的重力加速度g．某同學根據以上條件，提出一種估算地球質量M的方法：
同步衛星繞地心做圓周運動，由G

Mm

h2

=m(

2π

T2

)2h得M=

4π2h3

G T 2 2

（1）請判斷上面的結果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結果．
（2）請根據已知條件再提出兩種估算地球質量的方法，并解得結果．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，列式求解，地球半徑較大，不能忽略；
（2）對月球或地球應用萬有引力提供向心力，也可根據在地球表面重力等于向心力求解．

解答：解：（1）上面結果是錯誤的，地球的半徑R在計算過程中不能忽略，正確解法和結果：
G

mM

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
得    M=

4π2(R+h)3

G T 2 2

（2）方法一：月球繞地球做圓周運動，
由G

Mm

r 2

=mr(

2π

T1

)2得M=

4π2r3

G T 2 1

；
方法二：同步衛星繞地球做圓周運動，
G

mM

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
得 M=

4π2(R+h)3

G T 2 2

；
方法三：在地面重力近似等于萬有引力，
由G

Mm

R 2

=mg
得  M=

gR2

G

．

點評：本題關鍵抓住萬有引力提供向心力或在地球表面重力等于萬有引力．