Question

【題目】輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2L，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為L。現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長(zhǎng)度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度L，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。

（1）求彈簧壓縮L時(shí)所存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能Ep；

（2）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小；

（3）它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；

（4）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長(zhǎng)度被壓縮至L時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，由機(jī)械能守恒定律，彈簧長(zhǎng)度為L時(shí)的彈性勢(shì)能為：

（2）設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為，由能量守恒定律得：

聯(lián)立得：

（3）若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小應(yīng)滿足：

即：

設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為，由機(jī)械能守恒定律得：

聯(lián)立得：

則滿足的要求，故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并從D點(diǎn)以速度水平射出，設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

P落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為：

聯(lián)立得到：

（4）設(shè)P的質(zhì)量為M，若P剛好過B點(diǎn)，有：

解得：

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道上的上升高度不能超過半圓軌道的中點(diǎn)C，P最多到C而不脫軌，則有：

解得：

所以滿足條件的P的質(zhì)量的取值范圍為：