Question

（10分）如圖所示，AB是一段位于豎直平面內(nèi)的弧形軌道，高度為h，末端B處的切線沿水平方向。一個(gè)質(zhì)量為m的小物體P（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道頂端處A點(diǎn)由靜止釋放，滑到B點(diǎn)時(shí)以水平速度v飛出，落在水平地面的C點(diǎn)，其軌跡如圖中虛線BC所示。已知P落地時(shí)相對(duì)于B點(diǎn)的水平位移OC=l，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力的作用。

（1）請(qǐng)計(jì)算P在弧形軌道上滑行的過(guò)程中克服摩擦力所做的功；
（2）現(xiàn)于軌道下方緊貼B點(diǎn)安裝一水平傳送帶，傳送帶右端E輪正上方與B點(diǎn)相距。先將驅(qū)動(dòng)輪鎖定，傳送帶處于靜止?fàn)顟B(tài)。使P仍從A點(diǎn)處由靜止釋放，它離開(kāi)B點(diǎn)后先在傳送帶上滑行，然后從傳送帶右端水平飛出，恰好仍落在地面上C點(diǎn)，其軌跡如圖中虛線EC所示。若將驅(qū)動(dòng)輪的鎖定解除，并使驅(qū)動(dòng)輪以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，再使P仍從A點(diǎn)處由靜止釋放，最后P的落地點(diǎn)是D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）。已知驅(qū)動(dòng)輪的半徑為r，傳送帶與驅(qū)動(dòng)輪之間不打滑，且傳送帶的厚度忽略不計(jì)。求：
①小物塊P與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
②若驅(qū)動(dòng)輪以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到與角速度ω對(duì)應(yīng)的OD值，討論OD的可能值與ω的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

Answer 1

（1）；
（2）①；
②當(dāng)0﹤ω﹤時(shí)，OD=l；當(dāng)ω﹥時(shí)，OD=（；當(dāng)﹤ω﹤時(shí)，OD=。

試題分析：（1）小物塊從A到B的過(guò)程中有重力和摩擦力對(duì)其做功，
故根據(jù)動(dòng)能定理有：（2分）
解得（1分）
（2）① 需要先求出物塊在E點(diǎn)的速度；
沒(méi)有安裝傳送帶時(shí)，小物塊從B到C的過(guò)程，做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向有l(wèi)=vt；
安裝傳送帶后，小物塊從E到C的過(guò)程沿水平方向有l(wèi)/2=v_Et，二者的豎直高度相等，落下時(shí)所用的時(shí)間相等，故聯(lián)立以上兩個(gè)方程，解得v_E=（1分）
設(shè)小物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小物塊從B到E的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有
- （2分） 
解得（1分）
②（a）當(dāng)傳送帶的速度0﹤v_帶=ωr﹤v_E，
即0﹤ω﹤時(shí)，物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_E，則OD=l…（1分）
（b）如果傳送帶的速度較快，物體在傳送帶上一直加速而未與傳送帶共速，則物體的加速度始終為a=設(shè)物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_max，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有解得v_max=
當(dāng)傳送帶的速度v_帶=ωr﹥，
即ω﹥時(shí)，物體離開(kāi)傳送帶點(diǎn)時(shí)的速度為v_max，
則OD=+t=（…（1分）
（c）當(dāng)傳送帶的速度v_E﹤v_帶=ωr﹤v_max，
即﹤ω﹤時(shí)，物體離開(kāi)傳送帶點(diǎn)時(shí)的速度為v_帶=ωr，則OD=+ωrt=…（1分）