Question

如圖，△OAC的三個頂點的坐標分別為O（0，0）、A（0，L）、C（

3

L，0），在△OAC區域內有垂直于xOy平面向里的勻強磁場．在t=0時刻，同時從三角形的OA邊各處以沿y軸正向的相同速度將質量均為m，電荷量均為q的帶正電粒子射入磁場，已知在t=t₀時刻從OC邊射出磁場的粒子的速度方向垂直于y軸．不計粒子重力和空氣阻力及粒子間相互作用．
（1）求磁場的磁感應強度B的大小；
（2）若從OA邊兩個不同位置射入磁場的粒子，先后從OC邊上的同一點P（P點圖中未標出）射出磁場，求這兩個粒子在磁場中運動的時間t₁與t₂之間應滿足的關系；
（3）從OC邊上的同一點P射出磁場的這兩個粒子經過P點的時間間隔與P點位置有關，若該時間間隔最大值為

4t0

3

，求粒子進入磁場時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直OA進入磁場中，轉過90°，垂直打在y軸上，則t=t₀=

1

4

T，求出周期，由周期公式T=

2πm

qB

求B的大小．
（2）畫出兩個粒子的運動軌跡，設軌跡所對應的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關系有θ₁=180°-θ₂，可得到時間之和等于

T

2

．
（3）根據圓周運動知識知道，兩粒子在磁場中運動的時間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ₂的最大值．由△t=

△θ

360°

T和已知條件△t_max=

4t0

3

，聯立可求出θ₂的最大值，再結合幾何知識求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律，利用洛倫茲力等于向心力，列式求解速度．

解答：解：（1）粒子在t₀時間內，速度方向改變了90°，t=t₀=

1

4

T，故周期T=4t₀
由T=

2πm

qB

…①
得B=

πm

2qt0

…②
（2）在同一點射出磁場的兩粒子軌跡如圖，軌跡所對應的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關系有：
θ₁=180°-θ₂…③
故t₁+t₂=

T

2

=2t₀…④
（3）由圓周運動知識可知，兩粒子在磁場中運動的時間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，由②得：
△θ=θ₂-θ₁=2θ₂-180°…⑤
根據⑤式可知θ₂越大，△θ₂越大，時間差△t越大
由△t=

△θ

360°

T…⑥
由題時間間隔最大值為△t_max=

4t0

3

…⑦
又T=4t₀ …⑧
則⑤⑥⑦⑧得，θ₂的最大值為θ_max=150°…⑨
在磁場中運動時間最長的粒子軌跡如圖，由幾何關系α=180°-θ=30°…⑩
由幾何知識得 tan∠A=

3 L

L

=

3

  得∠A=60°…（11）
β=90°-∠A=30°…（12）
且有 Rcosα+

R

cosβ

=L   
解得：R=

2 3 L

7

根據qvB=m

v2

R

  （或v=

π 2 R

t0

或v=

5π 6 R

5 3 t0

均可）   
代入數據解得：v=

3 πL

7t0

答：
（1）磁場的磁感應強度B的大小是

πm

2qt0

；
（2）這兩個粒子在磁場中運動的時間t₁與t₂之間應滿足的關系是t₁+t₂=

T

2

=2t₀；
（3）從OC邊上的同一點P射出磁場的這兩個粒子經過P點的時間間隔與P點位置有關，若該時間間隔最大值為

4t0

3

，粒子進入磁場時的速度大小是

3 πL

7t0

．

點評：對于帶電粒子在磁場中運動類型，要善于運用幾何知識幫助分析和求解，這是軌跡問題的解題關鍵．