Question

【題目】如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內分別存在勻強磁場，磁感應強度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一質量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時刻從y軸上的P點射入區(qū)域I，其速度方向沿x軸正向．已知a在離開區(qū)域I時，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；因此，另一質量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點沿x軸正向射入區(qū)域I，其速度大小是a的1/3．不計重力和兩粒子之間的相互作用力．求

（1）粒子a射入區(qū)域I時速度的大小；

（2）當a離開區(qū)域II時，a、b兩粒子的y坐標之差．

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)設粒子a在Ⅰ內做勻速圓周運動的圓心為C(在y軸上)，半徑為Ra1，粒子速率為va，運動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點為P′，如圖所示．由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qvaB＝m①

由幾何關系得

∠PCP′＝θ②

Ra1＝③

式中，θ＝30°.

由①②③式得

va＝④

(2)設粒子a在Ⅱ內做圓周運動的圓心為Oa，半徑為Ra2，射出點為Pa(圖中未畫出軌跡)，∠P′OaPa＝θ′＝2θ.由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qva(2B)＝m⑤

由①⑤式得

Ra2＝⑥

C、P′和Oa三點共線，且由⑥式知Oa點必位于x＝d的平面上，由對稱性知，Pa點與P′點縱坐標相同，即yPa＝Ra1cosθ＋h⑦

式中，h是C點的y坐標．

設b在Ⅰ中運動的軌道半徑為Rb1，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qB＝2⑧

設a到達Pa點時，b位于Pb點，轉過的角度為α.如果b沒有飛出Ⅰ，則

＝⑨

＝⑩

式中，t是a在區(qū)域Ⅱ中運動的時間，而

Ta2＝

Tb1＝

由⑤⑧⑨⑩式得α＝30°

由①③⑧式可見，b沒有飛出Ⅰ.Pb點的y坐標為

yPb＝Rb1cosα＋Ra1－Rb1＋h

由①③⑦⑧式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標之差為yPa－yPb＝(－2)d