Question

【題目】如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上放置一質量為m的物塊B，B的下端連接一輕質彈簧，彈簧下端與擋板相連接，B平衡時，彈簧的壓縮量為x0，O點為彈簧的原長位置．在斜面頂端另有一質量為m的物塊A，距物塊B為3x0，現讓A從靜止開始沿斜面下滑，A與B相碰后立即一起沿斜面向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又一道向上運動，并恰好回到O點（A、B均視為質點）．試求：

（1）A、B相碰后瞬間的共同速度的大小；

（2）A、B相碰前彈簧具有的彈性勢能；

（3）若在斜面頂端再連接一光滑的半徑R＝x0的半圓軌道PQ，圓軌道與斜面相切于最高點P，現讓物塊A以初速度v從P點沿斜面下滑，與B碰后返回到P點還具有向上的速度，試問：v為多大時物塊A恰能通過圓弧軌道的最高點？

Answer 1

【答案】

【解析】

試題（1）A與B球碰撞前后，A球的速度分別是v1和v2，因A球滑下過程中，機械能守恒，有：

mg（3x0）sin30°=mv12

解得：…①

又因A與B球碰撞過程中，動量守恒，有：mv1=2mv2…②

聯立①②得：

（2）碰后，A、B和彈簧組成的系統在運動過程中，機械能守恒．

則有：EP+2mv22＝0+2mgx0sin30°

解得：EP＝2mgx0sin30°2mv22=mgx0mgx0＝mgx0…③

（3）設物塊在最高點C的速度是vC，

物塊A恰能通過圓弧軌道的最高點C點時，重力提供向心力，得：

所以：④

C點相對于O點的高度：

h=2x0sin30°+R+Rcos30°=x0…⑤

物塊從O到C的過程中機械能守恒，得：mvo2＝mgh+mvc2…⑥

聯立④⑤⑥得：…⑦

設A與B碰撞后共同的速度為vB，碰撞前A的速度為vA，滑塊從P到B的過程中機械能守恒，得：mv2+mg（3x0sin30°）＝mvA2…⑧

A與B碰撞的過程中動量守恒．得：mvA=2mvB…⑨

A與B碰撞結束后從Bspan>到O的過程中機械能守恒，得：2mvB2+EP＝2mvo2+2mgx0sin30°…⑩

由于A與B不粘連，到達O點時，滑塊B開始受到彈簧的拉力，A與B分離．

聯立⑦⑧⑨⑩解得：