Question

如圖所示，在一個(gè)傾角為θ=37°(cos37°=0.8)的斜面上， O點(diǎn)固定一根細(xì)繩，細(xì)繩另一端連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)放到斜面上P點(diǎn)，由靜止釋放，已知OP連線水平且間距為繩長，質(zhì)點(diǎn)滑動到細(xì)繩轉(zhuǎn)過角度α=90°的位置時(shí)剛好停止。問：
(1)質(zhì)點(diǎn)與斜面間動摩擦因數(shù)μ為多少？
(2)試描述質(zhì)點(diǎn)放到斜面上哪些位置時(shí)可以平衡？已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。

Answer 1

(1)   (2) [arccos，π - arccos]。

(1)將重力分解為下滑力和垂直斜面的分力，有

G₁=mgsinθ
G₂=mgcosθ
由于物體在垂直斜面方向無運(yùn)動，受力平衡，所以始終有
N=G₂= mgcosθ                  (1)
則物體所受的滑動摩擦力
f=μN(yùn)=μmgcosθ                   (2)
在物體擺動α=90°的過程中，由動能定理有
mgLsinθ - ="0" – 0           (3)
由(2)(3)可得：

                  (4)
(2)根據(jù)上問數(shù)據(jù)可知
f < G₁
所以如果沒有細(xì)繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時(shí)應(yīng)該使細(xì)繩拉緊，物體首先應(yīng)停在斜面上以O(shè)為圓心，繩長為半徑的圓上。
假設(shè)物體處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜摩擦力f，設(shè)此時(shí)細(xì)繩與OP夾角為α₀，由物體平衡，三力合力為零，首尾相接之后組成閉合三角形，可得：
        (5)
綜上所述，物體能夠平衡的位置為，在斜面上以O(shè)點(diǎn)為圓心，OP長為半徑的圓上；且在OP下方使得細(xì)繩與OP夾角α的取值范圍為[arccos，π - arccos]。
評分標(biāo)準(zhǔn)：
(1)問6分，(2)(3)(4)各2分。
(2)問6分，(5)2分，描述物體在圓上2分，得出α的角度范圍2分(用別的角度描述也可)。
本題考查單擺運(yùn)動的周期公式，小球在斜面上做單擺運(yùn)動，把重力分解為垂直和平行斜面的兩個(gè)分力，垂直斜面方向受力平衡，由此求得摩擦力大小，在物體擺動α=90°的過程中，由動能定理可知合力做功為零，繩子的拉力不做功，只有重力和摩擦力做功，摩擦力作用與路程有關(guān)，由此可求得動摩擦因數(shù)大小，由此可知摩擦力大小小于重力沿斜面向下的分力，所以如果沒有細(xì)繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時(shí)應(yīng)該使細(xì)繩拉緊，物體首先應(yīng)停在斜面上以O(shè)為圓心，繩長為半徑的圓上，隨意找一個(gè)臨界狀態(tài)，摩擦力為最大靜摩擦力f，由受力平衡列出公式，求得角度的取值范圍