Question

【題目】開普勒第三定律指出：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示橢圓軌道半長軸，T表示公轉周期，比值c是一個對所有行星都相同的常量。牛頓把該定律推廣到宇宙中一切物體之間，提出了萬有引力定律：

(1)開普勒第三定律對于軌跡為圓形和直線的運動依然適用。圓形軌跡可以認為中心天體在圓心處，半長軸為軌跡半徑。直線軌跡可以看成無限扁的橢圓軌跡，此時中心天體在軌跡端點，半長軸為軌跡長度的。已知：某可視為質點的星球質量為M，引力常量為G。一物體與星球的距離為r。該物體在星球引力作用下運動，其他作用力忽略不計。

a.若物體繞星球作勻速圓周運動，請你推導該星球的引力系統中常量c的表達式；

b.若物體由靜止開始做直線運動。求物體到達星球所經歷的時間；

(2)萬有引力和靜電引力是自然界中典型的兩種引力，庫侖定律和萬有引力定律均遵循“平方反比”規律，類比可知，帶電粒子在電場中的運動也遵循開普勒第三定律。兩個點電荷帶電量分別為+Q和－Q，質量均為m，從相距為2l的兩點由靜止釋放，在靜電引力的作用下運動，其他作用力忽略不計。靜電力常量為k。求兩點電荷從開始釋放到相遇的時間。

Answer 1

【答案】(1)a.；b. ；(2)

【解析】

(1)a.設物體質量為m0，則

解得

b.把直線運動看成是很扁的橢圓運動，設物體到達星球經歷的時間為t，則物體的周期為2t，半長軸為，則

解得

(2)兩個點電荷由靜止開始做變加速直線運動，將在中點O點相遇。對于電荷+Q，它所受到的靜電引力相當于O點固定一個電荷量為q的點電荷對它的引力。電荷+Q到O點距離為l。則

解得

設電荷+Q繞q作半徑為l的勻速圓周運動時周期為T1，類比可得該引力系統中的常量c1，即

解得

設兩點電荷從開始運動到相遇的時間為t1，把+Q向O點的直線運動看成是很扁的橢圓運動，半長軸為，周期為2t1.則

解得