Question

如圖所示，在豎直平面內固定有兩個很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD的光滑，內圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質量m=0.2kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，球運動的半徑R=0.2m，取g=10m/s²．

（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少？

（2）若v₀=3m/s，經過一段時間小球到達最高點，內軌道對小球的支持力N=2N，則小球在這段時間內克服摩擦力做的功是多少？

（3）若v₀=3m/s，經過足夠長的時間后，小球經過最低點A時受到的支持力為多少？小球在整個運動過程中減少的機械能是多少？

 

Answer 1

（1）3.16m/s；（2）0.1J；（3）0.5J.

解析:（16分）（1）設此情形下小球到達最高點的最小速度為v_C，則有

                                             （1分）

                                 （2分）

代入數據解得                           （2分）

 （2）設此時小球到達最高點的速度為，克服摩擦力做的功為W，則

                                         （1分）

                                （2分）

代入數據解得                                       （2分）

（3）經足夠長時間后，小球在下半圓軌道內做往復運動，設小球經過最低點的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有

                                           （1分）

                                            （1分）

代入數據解得                                       （2分）

設小球在整個運動過程中減少的機械能為，由功能關系有

                                      （1分）

代入數據解得  （1分）